地砖形状引发的数学思考——正多边形密铺问题探究

2023年12月23日发(作者：缪楚黄)

摘要：我在生活中发现地砖形状以正多边形居多，这是什么原因呢？符合什么样条件的正多边形才可以密铺地面呢？我通过采用若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形,分别对其进行一种正多边形、两种正多边形和三种正多边形模拟地砖密铺实验，得出12种每个顶点都是同样数目、同样形状的正多边形组合并设计了几种顶点由不同数目、不同样形状的正多边形组成的图案。

关键词：地砖；正多边形；密铺

提出问题

从小时候开始，每当走在路上，我总是会去观察路面的地砖和路边几何图形。我从学校、马路、餐馆、商场、家里的地砖图片发现，生活中大部分地砖和墙壁上的瓷砖是正三角形、正方形、正六边形、平行四边形、长方形等等,且以正多边形居多。这是为什么呢?我一直在思考这个问题，但没有深入去研究。这次，我下定决心去探索一下这个问题。

二、思考与探索

我查了一些资料，发现主要是以下两个原因：①正多边形多角度对称,符合中国人的传统审美观；②可以密铺,不会产生缝隙。

所有的正多边形都可以密铺吗?符合什么样条件的正多边形才可以密铺呢?

我开始尝试着用正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形进行以下分类密铺实验：

（一）一种正多边形的密铺实验

由实验可知,当只采用一种正多边形时,图形中只有正三角形、正方形、正六边形是可以密铺的,而其它图形则不可以。

我对实验中的正多边形内角度数与能否密铺的关系进行分析：

由上图可知，n边形的内角和=(n-2) ×180°，正多边形每个内角=因为密铺需要各个顶角构成一个周角360°,所以顶点的内角个数可以 =360°× = = =2+

。用以下式子表示:360°÷因为顶角个数应该是正整数，所以应该是正整数，可得n=3、4、6。

我们可以得出结论:如果只用一种正多边形，只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形才能铺满地面。

（二）两种正多边形的密铺实验

通过实验，我成功密铺了以下组合：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正三角形和正十二边形、正方形和正八边形。除了以上密铺组合，还有没有更多的组合呢？我用公式进行以下演算：

正n边形的每一个顶角= = =( - )×360°

假设图案由正n、p 、q 、r 、s 、t ...边形组成,则

通过假设、代入的方法可以得出表（1）

s正三角形和正方形

正三角形和正六边形

正三角形和正十二边形

正方形和正八边形

正五边形和正十边形

正三角形、正方形和正六边形

正三角形、正方形和正十二边形

正方形、正六边形和正十二边形

由上表可知正五边形和正十边形符合两种正多边形密铺这个条件,于是我继续尝试对它们进行密铺,可一直没有成功。说明正五边形和正十边形组合从单独的一两组来看似乎可以密铺，但多组组合则不能。因此采用两种正多边形进行密铺时，一般有六种组合——4个正三角形和2个正方形、4个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形。

（三）三种正多边形的密铺实验

根据以上成功密铺的组合，列成表（2）：

能

组合

npq

否

s密铺

数量

正三角形、正方形和正六边形

344

√1

正三角形、正方形和正十二边形

334

√1

正方形、正六边形和正十二边形

461

√1

三、我的收获

我这次采用若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形,分别对它们进行一种正多边形、两种正多边形和三种正多边形模拟地砖密铺实验，通过尝试拼图、列表探究、演算推理、归纳总结得出12种每个顶点都是同样数目、同样形状的正多边形密铺组合,并设计了几种顶点由不同数目、不同样形状的正多边形组成的图案。当然,我的成果是微不足道的,密铺问题前人早有深入的研究,我只是在借鉴前人的基础上,以自己的方式去探究,学会如何用简单的方法去逐步解决生活和学习中碰到的数学问题。

参考文献:[1].刘勇.《数学真奇妙》.北京:电子工业出版社,2013-03,141-143

[2].张景中.《好玩的数学》.北京:科学出版社,2004

导师评语：数学小论文就像一个万花筒，折射出孩子们眼中丰富多彩的数学世界。生活中不缺少素材，而是缺少发现。小作者从生活中看似微不足道的地砖入手，经历“尝试拼图、列表探究、演算推理、归纳总结”的过程，分析正多边形地砖密铺的数学原理和意义，选题小、题意明、实用性强。努瓦列斯说：“数学家本质是个着迷者，不迷就没有数学。”让我们一起做个着迷于数学的人吧，用数学思维看世界。