表面积的变化(教师版)
    序号：  01  教师：    班级：  五年级 日期：    上课时间 学生：    学生情况：    表面积变化问题  教学目标：    1．利用表面积的有关知识，探索多个相同长方形或正方形叠放后使其表面积 最小的最优策略。    2．体验解决问题的基本过程和方法，提高解决问题的能力。    3．通过解决包装问题，体验策略的多样化，发展优化思想。    4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。    教学目标：    1．利用表面积的有关知识，探索多个相同长方形或正方形叠放后使其表面积 最小的最优策略。    2．体验解决问题的基本过程和方法，提高解决问题的能力。    3．通过解决包装问题，体验策略的多样化，发展优化思想。    4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。    教学重点：    得到正方体、长方体表面积计算公式的过程。    教学重点：    得到正方体、长方体表面积计算公式的过程。    教学难点：    教学难点：    能够按要求，通过想象求出正方体、长方体上的部分表面积。    知识精要 1．多个小正方体拼成长方体表面积的变化：    知识精要 1．多个小正方体拼成长方体表面积的变化：      将若干个大小一样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体表面积比原来若干个正方体的表面积之和减少，反之将一个长方体分割成若干个小正方体（或小长方体），若干个小正方体（或小长方体）的表面积之和比原来长方体表面积增加。 
  2．如何使包装最小：    对于物体包装时，要考虑各种因素，美观便捷是重点，那么使得物体的表面积尽可能的最小，就是把几个物体最大的面叠加在一起，这样露在外面的包装表面积最小，包装最节约。    练一练 一．选择题 1.用两个棱长是 1 分米的正方体小木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（    ）。      A.增加了    B.减少了    C.没有变 2．如果把一个棱长是 10 厘米的正方体切成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和比原来的正方体表面积（    ）。    A.增加了    B.减少了    C.没有变化 3.正方体的棱长扩大 2 倍，它的表面积就（      ）。      A.扩大 2 倍    B.扩大 4 倍    C.扩大 6 倍 4.大正方体的表面积是小正方体的 4 倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（  ）；大正方体棱长之和是小正方体的（    ）  A.2 倍    B.4 倍    C.6 倍    D.8 倍  5.把一个正方体切成大小相等的 8 个小正方体，8 个小正方体的表面积之和（      ）。    A.等于大正方体的表面积  B.等于大正方体表面积的 2 倍  C.等于大正方体表面积的 3 倍 6.一个无盖的长方体箱子，前侧面为 8 平方分米，下底面为 9 平方分米，左侧面为 6 平方分米，这个木箱用木料（    ）平方分米。    A.46            B.40              C.38              D.37 7.一个长方体长 6 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米，如果将这个长方体分成两个相等的小长方体，表面积最多增加（      ）平方厘米。    A.72              B.48            C.36                D.24 8.一个长方体的盒子，从里
面量长是 8 厘米，，宽 4 厘米，高 5 厘米，如果将棱长是 2 厘米的小木块整个放入盒内，最多放（    ）块。    A.20              B.16              C.80              D.40 9.一个正方体，如果它的棱长缩小 2 倍，那么它的体积缩小到原来的（      ） A.41              B. 81            C. 161            D. 641 10. 一个长方体长为 a 米，宽为 b 米，高为 h 米，如果高增加 2 厘米后，新长方体的表面积比原来增加（  ）平方米。    A.2ab            B.4a+4b            C.2(a+b)          D.4(a+b)+ab 解析：  BAB(AA)B      DBBBB 二．解决问题  1.小明爸爸想做一个长方体的木箱用来放东西，木箱长 1.2 米，宽 0.8 米，高是 2.5 米，做一个这样的木箱，小明爸爸至少需要买多少木料？ 解析：  求做一个木箱至少需要多少木料，就是求这个长方体的表面积      （1.20.8+1.22.5+0.82.5）2      =11.92（m2 ）  2. 把一个长是 10cm，宽是 8cm，高是 6cm 的长方体截成两个形状、大小完全相同的长方体。  截成的两个长方体的表面积之和最大是多少？表面积之和最小是多少？ 解析：  （108+106+86）2+1082=536（cm2 ）      （108+106+86）2+862=472（cm2 ）  3. 有 A、B、C3 个正方形水池，它们的内边长分别是 6 米、3 米、2 米．把两堆碎石分别沉没在 B、C 水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米．如果将这两堆碎石都沉没在 A 水池的水里，A 水池的水面升高了多少厘米？（结果保留一位小数） 解析：  6 厘米=0.06 米，4 厘米=0.04 米     
（ 330.06+220.04）（66）1001.9  4.用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图 11-1 所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?  解析：  46 cm2  5. 一个长方体的长、宽、高分别是 6 厘米、5 厘米和 4 厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？ 解析：  268 cm2 。    6.  如图表示一个正方体,它的棱长为 8 厘米,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为 1 厘米的正方体,问此图的表面积是多少?      解析：  表面积等于正方体的表面积加上 6 个洞孔的四个面的面积      886+1146=408 7.小胖和小丁丁做手工，将三个表面积都是 54 平方厘米的正方体粘成一个长方体，求这个长方体的体积。    解析：  三个正方体粘成一个长方体，长方体的长是正方体棱长的 3 倍，宽和高都等于正方体的棱长，我们只要求出正方体的棱长就能求出长方体的表面积。  可是，现在正方体的表面积是 54 平方厘米，每个面（正方形）的面积是 546=9（平方厘米），则可以求出棱长，最后求出体积。    正方体一个面的面积是：    a 2 = 546=9（cm 2 ），则  a = 3（cm） V = 3 3 3 = 81（3cm ）          答：  这个长方体的体积是 813cm 。  资源网 m 8.小巧做一个长方体的模型，它的高和宽都相等，如果把长去掉 2.5 厘米，就 成为表面积是 150 平方厘米的正方体。  小巧做的这个长方体模型的体积是多少立方厘米？  解析：  正方体的表面积是 150 平方厘米，那么正方体每个面的面积
是：    1506=25（平方厘米），就可以求出棱长。  原来长方体只是长去掉 2.5 厘米，高和宽都没有变，所以原来长方体的底面积是 25 平方厘米，长是 5＋2.5=7.5 厘米。  由此可求得原来长方体的体积。    正方体每个面的面积是：  a2 = 1506=25（cm 2 ），则  a = 5（cm 2 ） V = 25（5＋2.5）  = 187.5（3cm ） 答：  原来长方体的体积是 187.53cm 。          讨论：          讨论：    【例 1】将 6 个棱长为 1 厘米的正方体的积木拼成一个长方体，你有几种拼法？拼成的长方体表面积分别比原来 6 个正方体积木表面积之后减少多少平方厘米？  解析：  将 6 个棱长为 1 厘米的正方体积木拼成一个长方体，有如下两种拼法 第一种拼法拼成的长方体的表面积比原来6个正方体的表面积之后减少了6个正方形面  的面积，即减少 6 平方厘米。    第二种拼法拼成的长方体的表面积比原来6个正方体的表面积之后减少了8个正方形面 的面积，即减少 8 平方厘米。    答案：  减少 6 平方厘米或 8 平方厘米。    【例 2】一个长方体，长 5cm、宽 2cm、高 2cm，如果将它的高增加 1cm，那么表面积将增加多少？    解析：  如图所示：  相当与一个长 5cm、宽 2cm、高 1cm 的长方体和原长方体叠加在一起， 那么表面积增加的就应该是长 5cm、宽 2cm、高 1cm 的长方体的表面积再减去最大的一个面的面积，既是增加的表面积。    增加的表面积为 132+152+531=31 平方厘米 答：  表面积增加 31 平方厘米。    【例 3】从一个长为 8
厘米、宽为 7 厘米、高为 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是多少平方厘米？ 解析：  从已知长方体中截下一个最大的正方体，其棱长应与长方体中最短的棱长相等， 即 6 厘米，所以剩下的几何体中剩余表面积就是少了两个面积为 66 平方厘米的面。    （87+86+76）2-662=220（平方厘米） 答：  剩下的几何体的表面积为 220 平方厘米。        【例 4】将三盒长 20cm，宽 15cm，高 5cm 的巧克力装成一包，怎样包才能节约包装纸？（接口处不计）需要多少平方厘米的包装纸？    解析：  要想最节约包装纸，在包装时必须要将最大的面重叠在一起，这里 205 这个面最大，所以把它重叠在一起包装，计算时，求出三盒巧克力的表面积之后，再减去重叠在一起的 4个面的面积，就可求出包装后的表面积。    如右图这样包装：          （2019+205+155）23-20194 =1650（cm2 ） 答：  表面积最小为 1650cm2 。    【例 5】两个完全相同的长方体，长 8 厘米，宽 6 厘米，高 2 厘米，拼成一个表面积最大的正方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少多少平方厘米？ 分析：  要想拼成的表面积最大，就必须使想拼接的面积最小，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少的就是想拼接的两个面的面积和。  而两个完全相同的长方体中，最小的面的面积是 26=12 平方厘米。    解析：  622=24 平方厘米 答：  拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少 24
平方厘米 。    跳一跳 【例 6】从一个长为 8 厘米、宽为 7 厘米、高为 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是多少平方厘米？ 解析：  从已知长方体中截下一个最大的正方体，其棱长应与长方体中最短的棱长相等，即 6厘米，所以剩下的几何体中剩余表面积就是少了两个面积为 66 平方厘米的面。    （87+86+76）2-662=220（平方厘米） 答：  剩下的几何体的表面积为 220 平方厘米。    【例 7】一个长方体长 5 厘米、宽 2 厘米、高 4 厘米，把这个长方体截成大小相等的两个小长方体，两个小长方体的表面积之后比原来这个长方体的表面积增加多少平方厘米？ 解析：  根据题意把长方体截成大小相等的两个小长方体，有以下三种截法    以上三种截法截成的两个小长方体的表面积之后比原来这个长方体的表面积都增加了 2 个长方形面的面积，但不同的是：    第一种  截法增加的 2 个长方形面的长为 5 厘米，宽为 2 厘米，所以增加的面积为 20 平方厘米；第二种  截法增加的 2 个长方形面的长为 2 厘米，宽为 4 厘米，所以增加的面积为16 平方厘米；第三种  截法增加的 2 个长方形面的长为 5 厘米，宽为 4 厘米，所以增加的面积为 40 平方厘米。      答案：  由于截法的不同，增加的面积也可能不同，有以下三种情况：  增加 20 平方厘米；增加 16 平方厘米；增加 40 个平方厘米。    练一练 一、选择题 1、把一个棱长为 a 的正方体截成 3 个同样大小的长方体，3 个长方体的表面积之和是（ 
B  ）    A、 12a2            B、 10a 2            C、9a 2            D、6a 2  2、一个长方体的长为 a 厘米，宽为 b 厘米，高为 h 厘米，如果高增加 3 厘米，那么新的长方体的表面积比原来的长方体增加（  D  ）平方厘米。        A、 6ab          B、 6a+6b        C、3（a+b）      D、6（a+b）+ab 二、填空题 3、一块底面是正方形的长方体木料高 8 分米，把木料锯成两段后表面积增加 1.28 平方分米，原来木料的表面积是  26.88    平方分米。    4、把两个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 2 厘米的长方体包装在一起，用纸最多是 136  平方厘米，用纸最少是  112  平方厘米。    三、简答题                                                      5、学校要将校舍的一个墙面油漆一下，然后绘制一幅宣传画，墙面形状如下图所示，求油漆面积有多大？如果每平方米用油漆 50 克，那么，这面墙共需用掉油漆多少千克？ 解析：  本题考查梯形面积公式和长方形面积公式：        (4 8) 3 2 8 10 98 +  +  = 平方米， 则共需 5098=4900 克=4.9 千克 答：  油漆面积为 98 平方米，共需用掉油漆 4.9 千克。    课堂总结 1、n 个正方体一字排开，拼成长方体，减少的面积是（n-1）2 个正方形的面积。    2、包装需要美观、节约成本，所以用最大的面来叠放，露在外面的面积最少。    3、几个图形叠放，表面积最大，用最小的面来叠放，露在外面的面积最大。        做一做 一、选择题 1、一个长方体的长是 a 米，宽是 b 米，高是 c 米，如果高增加 2 厘米厚，新的长方体表面积比原来
增加（  B  ）平方米。      A 2ab            B 4a+4b          C 2（a+b）        D 4（a+b）+ab 2、一个长方体盒子，从里面量，它的长是 8 厘米，宽是 5 厘米，高是 6 厘米，如果把棱长是 2 厘米的正方体木块放入盒子中，最多可以放（  D  ）个 A 42              B 36                C 30              D 24 二、填空题 3、一个长方体长 14 厘米，宽 10 厘米，如果长方体的长和宽不变，那么当高减少 6  厘米时，长方体的表面积减少 288 平方厘米。    4、用 5 个棱长为 2 厘米的正方体木块拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是  88  平方厘米，比原来 5 个长方体表面积之和减少  32    平方厘米。    三、简答题 5、教室长 7 米，宽 6 米，高 3.5 米，要粉刷四壁和顶，除去门窗和黑板面积 26 平方米，如果每平方米用白色涂料 0.5 千克，共需涂料多少千克？ 解析：  需要粉刷的面积为：    7 6 2 7 3.5 2 6 3.5 26 107  +  +    = 平方米， 则 107 0.5 53.5  = 千克 答：  共需涂料 53.5 千克。    6、一个底面是正方形的长方体，高缩短 8 厘米后就成了一个正方体，表面积减少 160 平方厘米，求原来长方体的表面积。    解析：  设底面正方形边长为 a，则有    8 2 () 160 a a  + = 解得：  a=5 厘米，则原来长方体的表面积：        5 5 25 8 4 210  +  = 答：  原来长方体的表面积为 210 平方厘米。    7、一间办公室长 6 米，宽 4 米，高 3 米，除去门窗面积 10.5 平方米，其他墙面和顶面都要贴墙纸，一卷墙纸可贴 5 平方米，建材商店规定只能整卷出售，至少要买
墙纸多少卷？ 解析：  需要贴墙纸的面积为：        (6 4 6 3 2 4 3 2) 10.5 73.5  +  +    = 平方米 则需要墙纸 73.5 5 14.7 15  =  卷 答：  要买墙纸 15 卷。    8、把两个长为 3 分米，宽为 2 分米，高为 1 分米的长方体拼成一个大的长方体，拼成后的大长方体表面积比原来两个长方体表面积之和最少减少多少平方分米？拼成后的大长方体表面积最大又是多少平方分米？ 解析：  表面积最小需要把两个长方体最大的面积（32）叠放在一起， 表面积为：    3 2 4 2 2 2 32  +  = 平方分米    表面积最大需要把两个长方体最小的面积（21）叠放在一起， 表面积为：    6 2 2 6 1 2 1 2 2 40  +  +  = 平方分米 原来两个表面积之和为：    (3 2 2 3 1 2 1 2 2) 2 44  +  +    = 平方分米 答：  拼成后的大长方体表面积比原来两个长方体表面积之和最少减少 4 平方分米；    拼成后的大长方体表面积最大又是 40 平方分米。 

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