2023年12月21日发(作者：张作霖)
月考数学试卷题号得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程x2-6x+1=0配方后变形正确的是（ ）A.
（x-3）2=35B.
（x-3）2=8C.
（x+3）2=8D.
（x+3）2=352.若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5，b=2.5，c=8，则线段d的长为（ ）A.
2B.
4C.
5D.
63.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）A.
（x-1）2=2B.
（x+1）（2x-3）=0C.
3x2-2x-1=0D.
x2+2x+4=04.如图，两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，若AB=3，BC=6，DE=2，则DF的长为（ ）一二三四总分A.
4B.
5C.
6D.
75.6.已知关于x方程x2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为（ ）A.
2B.
-2C.
4D.
-4在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A.
9人B.
10人C.
11人D.
12人某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，设每件=3750．对所列方程中出现的代玩具涨x元，可列方程为：（30+x-20）（300-10x）数式，下列说法错误的是（ ）A.
（30+x）表示涨价后玩具的单价B.
10x表示涨价后少售出玩具的数量C.
（300-10x）表示涨价后销售玩具的数量D.
（30+x-20）表示涨价后的每件玩具的单价若==，则的值为（ ）7.8.A.
29.B. C. D.
9在一幅长200cm，宽160cm的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%．设装饰纹边的宽度为xcm，则可列方程为（ ）A.
（200+x）（160+x）×78%=200×160B.
（200-x）（160-x）=200×160×78%C.
（200+2x）（160+2x）×78%=200×160D.
（200-2x）（160-2x）=200×160×78%第1页，共16页
10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，AD=2四边形ABEF是正方形，矩形ABCD∽矩形ECDF，，则DF的值为（ ）A.
B.
C.
D.
3二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.一元二次方程x2-x=0的根是______．12.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，该公司每月的投递总件数的平均增长率为______．13.若=，则=______．14.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为点C，则AC=______．宽20m的矩形ABCD15.如图，某小区规划在一个长30m、上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花______m．草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成16.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，AB的垂直平分线 DE交 BC的延长线于F，则 CF的长为______
．将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D17.如图，落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段FM的长度为______cm．第2页，共16页
BD平分∠ABC，E∠BAD=∠BDC=90°，在四边形ABCD中，18.如图，AE与BD相交于点F，∠CBD=30°，为BC的中点，若BC=4，则DF的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）19.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一定A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=70米，请你求出小河的宽度是多少米？四、解答题（本大题共4小题，共57.0分）20.解下列方程（1）3（x-2）2-12=0（2）（x-1）（x+3）=-4（3）x2-4x+1=0（4）（2x-1）=2（1-2x）21.今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价-成本价）第3页，共16页
22.阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为______；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．则△ACD与△ABC的相似比为______；则△BCD与△ABC的相似比为______；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．①如图3-1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=______（用含b的式子表示）：②如图3-2，若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=______（用含n，b的式子表示）．第4页，共16页
23.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，△BPQ的面积是cm2；（3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形；（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接写出t的值．第5页，共16页
答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵x2-6x+1=0，∴x2-6x=-1，⇒x2-6x+9=-1+9，∴（x-3）2=8．故选：B．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．此题考查配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2.【答案】B【解析】解：因为a、b、c、d是成比例线段，可得：，解得：d=4，故选：B．根据成比例线段的定义解答即可．本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条．3.【答案】D【解析】解：A、∵（x-1）2=2，2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；B、∵（x+1）（2x-3）=0，∴方程有实数根；C、∵3x2-2x-1=0，∴△=（-2）2+4×3×1＞0，∴方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；D、∵x2+2x+4=0，∴△=22-4×4=-12＜0，∴方程没有实数根；故选：D．A．根据直接开平方法可得2＞0，所以方程有两个不相等的实数根，B．根据因式分解C和D可分别计算方程的判别式的值，法得方程有实数根，然后根据判别式的意义进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．第6页，共16页
4.【答案】C【解析】解：∵两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，∴，∵AB=3，BC=6，DE=2，∴EF=4，∴DF=DE+EF=2+4=6，故选：C．根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=3，∵该方程的一个根为1，则另一个根为：3-1=2，故选：A．设该方程的两根为x1，x2，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，结合“已知关于x方程x2-3x+a=0有一个根为1”，即可得到答案．本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得：x（x-1）=55，整理，得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；C、∵（300-10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；D、∵（30+x-20）表示涨价后的每件玩具的利润，故D选项错误，故选D．设涨价x元，然后分别表示出销量和涨价后的单价即可列出方程求解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出单件利润和总的销售量，从而表示出总利润．第7页，共16页
8.【答案】C【解析】解：设===k（k≠0），则a=2k，b=3k，c=4k，所以，==．故选C．设比值为k（k≠0），用k表示出a、b、c，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．9.【答案】C【解析】解：设装饰纹边的宽度为xcm，则装饰画的长为（200+2x）cm、宽为（160+2x）cm，根据题意得：（200+2x）（160+2x）×78%=200×160．故选：C．设装饰纹边的宽度为xcm，则装饰画的长为（200+2x）cm、宽为（160+2x）cm，根据矩形的面积公式结合硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴则，设正方形ABEF的边长为x，EC=y，，∴x2-yx-y2=0，∴x=，∵x＞0，y＞0，∴x=y，，∴DF：AD=∵AD=2，∴DF=3-，故选：D．根据相似多边形的性质可得求出x=y，代入DF：AD=，设正方形ABEF的边长为x，EC=y，那么计算即可．，此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边的比相等．11.【答案】x1=0，x2=1【解析】解：方程变形得：x（x-1）=0，可得x=0或x-1=0，第8页，共16页
解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．12.【答案】10%【解析】解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=12.1，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）．答：该公司每月的投递总件数的平均增长率为10%．故答案为：10%．设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x，根据该公司三月份与五月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵=，∴x=y，∴==；故答案为：．根据题意先求出x=y，再代入要求的式子进行计算即可．此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．14.【答案】【解析】解：∵AB=如图，∵CF∥BE，∴=，∴=，，．=2，∴AC=故答案为：构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到结论．本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．第9页，共16页
15.【答案】2【解析】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30-2x）（20-x）=6×78，解得x=2或x=-33（舍去）．答：通道应设计成2米．故答案为：2．设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78．此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，根据勾股定理得：AB=10，∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，∴∠BDF=90°，∠B=∠B，∴△ACB∽△FDB，∴BC：BD=AB：（BC+CF），即6：5=10：（6+CF），解得，CF=，故答案为：．根据勾股定理求出AB的长，证明△ACB∽△FDB，根据相似三角形的性质定理列出比例式计算即可．本题主要考查线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握线段的垂直平分线的概念、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17.【答案】1【解析】解：在Rt△ENC中，设NC=aEN2=EC2+NC2∴（8-a）2=a2+42，解得a=3∴NC=3，EN=5∵△NEC∽△EGB∴∴GE=∴FG=8-=第10页，共16页
∵△FMG∽△BEG∴∴FM=1故答案为FM=1根据翻折的性质，以勾股定理作方程，在△ENC中求出NC和EN，根据△NEC∽△EGB，利用比例求出GE，根据△FMG∽△BEG，利用比例求出FM．本题考查了翻折的性质以及相似的性质与判定，利用勾股定理建立方程关系是本题的解题关键．18.【答案】【解析】解：如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=2，连接DE，∵∠BDC=90°，点E是BC中点，∴DE=BE=CE=BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴∴，．．．解得：DF=故答案为：先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥AB是解本题的关键．19.【答案】解：∵AB⊥BD，EC⊥BC，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴=，即=，∴AB=210．答：小河的宽度是210米．【解析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测第11页，共16页
量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．20.【答案】解：（1）∵3（x-2）2-12=0，∴（x-2）2=4，∴x-2=±2，∴x=0或x=4；（2）∵（x-1）（x+3）=-4，∴x2+2x+1=0，∴（x+1）2=0，∴x1=x2=-1；（3）∵x2-4x+1=0，∴x2-4x=-1，∴x2-4x+8=7，∴（x-2）2=7，∴x=2±；（4）∵（2x-1）=2（1-2x），∴（2x-1）-2（1-2x）=0，∴3（2x-1）=0，∴x=；【解析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；（3）根据配方法即可求出答案；（4）一元一次方程的解法即可求出答案本题考查方程的解法，解题的关键是熟练运用方程的解法，本题属于基础题型．21.【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b（k≠0），把（10，40），（18，24）代入得：解得：，，∴y与x之间的函数关系式y=-2x+60（10≤x≤18）；（2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=150，整理，得：x2-40x+375=0，解得：x1=15，x2=25（不合题意，舍去）．答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；（2）根据总利润=每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论．22.【答案】 b b第12页，共16页
【解析】解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH=AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：故答案为：；；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：△BCD与△ABC的相似比为：故答案为：，；（3）①，∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∴a=b；故答案为：b②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∴a=b；故答案为：b（1）先得出AH=AD，即可得出结论；（2）根据勾股定理求出AB，即可得出结论；（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的性质，相似矩形的性质，相似正方形的性质，以及自相似图形定义和理解，理解自相似图形的定义是解本题的关键．23.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴AB===10cm，∵△BPQ与△ABC相似，且∠B=∠B，∴或，第13页，共16页
当∴∴t=1，当∴∴t=；时，，，，（2）如图1，过点P作PE⊥BC于E，∴PE∥AC，∴∴PE=，=3t，∴S△BPQ=×（8-4t）×3t=，∴t1=或t2=；（3）①当PB=PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ，则BE=BQ=4-2t，PB=5t，由（2）可知PE=3t，∴BE=∴4t=4-2t，∴t=②当PB=BQ时，即5t=8-4t，解得：t=，③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，==4t，第14页，共16页
则BG=PB=t，BQ=8-4t，∵△BGQ∽△ACB，∴∴解得：t=．综上所述：当t=或或时，△BPQ是等腰三角形；（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB=5t，，∵AC⊥BC∴△PMB∽△ACB，∴=∴BM=4t，PM=3t，且BQ=8-4t，BC=8，∴MC=8-4t，CQ=4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM，∵∠ACQ=∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴∴∴t=，【解析】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；第15页，共16页
（2）过点P作PE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可得PE=3t，由三角形的面积公式列出方程可求解；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．第16页，共16页
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