计算图片中的物体的实际尺寸的一种方法

计算图⽚中的物体的实际尺⼨的⼀种⽅法

从⼀幅图像中⽆法测出物体的长度，因为缺乏参照物，但可以测出两个平⾏物体的长度⽐例。如果已知⼀个物体的实际⼤⼩(⽐如在图⽚中放上⼀枚1元硬币或者知道某个柜⼦有多⾼)，那么就可以通过长度⽐和参照物的已知长度测出物体长度。具体⽅法见⽂献[1]，因为需要⼀些矩阵运算和摄像头成像⽅⾯的推导，这⾥只⼤概说说原理。楼上诸位所述也是这种原理。

图像测量利⽤了摄像头成像也就是⼩孔成像的⼏个性质[2]：

第⼀，摄像头把平⾏的直线映射为图像上相交直线，笔直的铁轨在远处相交就是这个道理，这个交点被称为消隐点(vanish point)。可以认为平⾏空间直线在⽆穷远处相交，消隐点则是这⼀交点的像。所有⽔平的平⾏直线族都各⾃相交于⽆穷远处的⼀点，这些点构成⽆穷远直线，这条直线在图像上的像叫地平线。我们所居住的三维空间中存在三组相互垂直的直线(例如⽔平两组，x轴和y轴⽅向，竖直⼀组，z轴⽅向)，所有x、y、z⽅向上的平⾏直线在⼀张图⽚上会分别相交于各⾃的⼀个消隐点。并且⽔平直线对应的两个消隐点如果连起来，连线就是地平线。测量的关键，就是要得到这些消隐点，因此有很多竖直线(如书架)或⽔平线(如地板砖)的图⽚就容易测量。

第⼆，摄像头把三维空间投影到⼆维的图像上，保持直线交⽐不变，交⽐是四个点两两“⽐例的⽐例”。所以如果在三维空间中的⼀条直线上有四个点，那么它们映射到图⽚上的四个点后，这四个点的交⽐不变。

⽂献[1]通过这些条件，给出了从图⽚上计算长度⽐的公式。通过⽰意图我们可以更加直观地看出它是如何⼯作的：

⾸先，假设我们已知蓝⾊⼩⼈Bob的⾝⾼，要求出红⾊⼩⼈John的⾝⾼，只需要知道两⼈的⾝⾼⽐值

就可以：

我们⽤⼤写字母表⽰真实的坐标，随后⽤⼩写字母表⽰图⽚上的像素坐标。两⼈的⾝⾼⽐值BE/AF可以这么求：⾸先连接AB，然后过E点做AB的平⾏线交AF于点D，因为ABED是个矩形，所以要求的⽐值就等于AD/AF。然⽽，这种判断是在三维空间中做出的，当物体成像为图⽚，所有点的位置都会发⽣变化(不要问我圆头为什么会变成⽅头)：

其中最显著的变化是平⾏线相交了，由此我们可以找到三个⽅向的消隐点，这可以通过对竖直和两组⽔平平⾏线求延长线获得：

注意我们把⽔平平⾏线对应的两个消隐点连接起来，得到了⼀条在(⽆穷)远处的直线，每个⼈都熟悉它，它就是地平线。地平线上所有的点都有⼀个性质：从其上⼀个点引出的所有直线都是相互⽔平平⾏的。

因此点D在图上的坐标d是这么求出的：

1. 画出地平线

2. 延长ab，交地平线于点c

3. 延长ce，交af，也就是John于点d

因为点c在⽆穷远处，所以cd和ca在空间中是平⾏直线，abed也就是上⾯说述真实空间中矩形ABED的像。

(转载者说明：如果cd也是⽔平⾯上⼀直线，那么cd和ca互相平⾏是正确的，但是本⽂中cd是不在⽔平⾯上的)

然⽽，知道了某些点在图像上的像，它们的实际长度⽐是⽆法直接从图上测得的，因为⼤家的深度不⼀样，这时就要利⽤成像前后⼀条直线上四个点交⽐不变的性质，考察红⾊⼩⼈John⾝上的三个点A、D、F以及其延长到⽆穷远处的点G，就可以得到(⼤写字母换成⼩写字母)：

(AD/AF)/(GD/GF)=(ad/af)/(gd/gf)

因为已经求出了点d，等式右边所有的量都可以从图像上测出。等式左边的点G在真实空间是所有垂直直线的交点，这个点在⽆穷远，和⽆穷相⽐点F和点D的差异可以忽略不计，所以GD/GF=1，这样就得到最终结果：

AD/AF = (ad/af)/(gd/gf)