高斯小学奥数五年级下册含答案第11讲_正反比例的概念与应用

第十一讲 正反比例的概念与应用

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本讲我们来学习两种特殊的数量关系：正比例关系和反比例关系．

看到题目你一定很好奇什么才是正比例关系？什么才是反比例关系呢？我们先来看一

个具体的例子．

某汽车行驶的时间和路程如下表：

时间/h 1 2 3 4 5 6

路程/km 80 160 240 320 400 480

同学们可以考虑这样几个问题：表中有哪两个量？它们是不是有关联的？写出几组这两

种量的比，并比较比值的大小．说一说这个比值表示什么？

从表中我们可以看出，路程和时间都是变化的量，并且时间越大，路程也越大，它们的

比值是一定的．

像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两

个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例

关系，或者简写为成正比．

我们再来看另外一个例子：

王老师买来一些巧克力，准备分给同学们．

学生数/人 20 30 40 60 120

每人分得的巧克力数/块 6 4 3 2 1

从表中我们可以看出，学生数和每个人分得的巧克力数都是变化的量，并且学生数越多，

每人分得的巧克力数就越少，它们的乘积是一定的．

像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两个

数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，或者简写

为成反比．

在实际应用过程中，我们常常用到这样一些结论．如果两个量成正比，例如：

总价单价数量

，当单价一定的时候，总价比等于数量比，即．如

总价:总价数量:数量

1212

果两个量成反比，例如：，当路程一定的时候，速度比等于时间比反过来，

路程速度时间

即．

v:vt:t

1221

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例题1．

（1）阿呆和阿瓜，一起去超市买可乐，可乐的价钱相同．阿呆买了12瓶，阿瓜买了15瓶，

问阿呆和阿瓜所花的钱数比为____________．

（2）灰太狼和红太狼从狼堡去羊村，红太郎用了18分钟，灰太狼只用了12分钟，问红太

狼和灰太郎的速度比为____________．

（3）小高、墨莫和卡莉娅三人一起去爬灵山，从山脚出发，约好在山顶见面．小高从山脚

爬到山顶用了40分钟，墨莫和卡莉娅分别用了1小时20分钟和120分钟，问小高、墨莫和

卡莉娅的速度比为____________．

分析：题目中的各个量之间是成正比例还是反比例关系？

练习1．

（1）喜羊羊和沸羊羊进行百米赛跑，喜羊羊跑完全程用了10.5秒，沸羊羊用了12秒，问

喜羊羊和沸羊羊的速度比为____________．

（2）甲、乙、丙三人各自独立做同一件工程，效率比为2:3:4，那么完成的时间比为

____________．

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齿轮在机械装置中是很常见的一种零件，如图是钟表中的一些齿轮图．如果两个齿轮A、

B相互咬合，那么齿轮A的齿数乘以齿轮A转过的圈数等于齿轮B的齿数乘以齿轮B转过

的圈数．即两个相互咬合的齿轮它们的齿数比与圈数比成反比．

钟表中的齿轮1 钟表中的齿轮2

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例题2．

如图，有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齿轮转动7

圈时，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动7圈时，C齿轮恰好转动10圈．请问：这三个齿

轮的齿数之比是多少？（注：图片只是示意图，并不代表实际齿数）

分析：观察图形，当两个齿轮相互咬合的时候，它们的齿数和转动圈数有什么关系？

A

C

B

练习2．

有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．这三个齿轮的齿数之比3:4:5．当

A、C两个齿轮一共转动64圈时，B齿轮一共转动了多少圈？

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利用正反比，我们常常可以解决一些生活中的问题，下面我们来看看这样的题目．

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例题3．

一天，卡莉娅拿着妈妈给她的钱去超市买苹果，平时每斤苹果5元钱，当她到超市的时候发

现，由于打折促销，苹果变为每斤4元钱，于是卡莉娅多买了3斤苹果．问妈妈给了卡莉娅

多少钱？

分析：卡莉娅带的钱是固定的，那么苹果的价格和重量之间有什么关系？

练习3．

一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元．后来又增加了8人，这样每人应付的车费

是35元．总租车费是多少元？

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在行程问题中，速度×时间＝路程．当路程一定时，时间和速度成反比．与之类似的，

在工程问题中，效率×时间＝工作量．当工作量一定时，时间和效率成反比．正反比在行程、

工程问题中有着广泛的应用．

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例题4．

小高从家去高思学校，可以骑车也可以步行，骑车比步行每分钟快150米，骑车所用的时间

3

比步行时间少，那么小高每分钟步行多少米？

5

分析：当行驶路程固定的时候，如何把速度的变化与时间的变化联系起来呢？

练习4．

2

完成一件工程，甲的工作效率比乙的工作效率高，单独做，甲比乙少用4天完成整件工程，

7

问乙单独完成这件工程用多少天？

例题5．

墨莫最近在看文学名著《战争与和平》，计划20天看完．实际上，在看了500页之后，由于

情节精彩，每天比原来多看了，结果提前3天看完全书．问这本书共有多少页？

1

4

分析：书的页数是固定的，那么每天看的页数和看书的天数之间有什么关系？

例题6．

某工程，可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则只需用规定时间的

7

8

就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟1小时做完．则由一台机器去完成这工程需要

多长时间？

分析：工作总量是固定的，那么如何把工作效率的变化与工作时间的变化联系起来呢？

谚语的智慧

——

节选自《怎样解题》乔治·波利亚

解题是人类的一项基本活动．有些人在达到目标和解答题目方面比较成功，另一些则没

有那么成功．这些差异被注意到了，并进行了探讨和评论，某些谚语看来保留了这种评论的

精华．

1.知敌方能应敌．

我们解题时必须做的第一件事是理解题目：我们必须清楚地看到我

们所要达到的目的：这是老生常谈了，不幸的是，并非每个人都听从这样

想清目标再动手．

一条好的建议，人们常常在还没有真正理解他们所应该努力的目标之前，就开始推测、谈论，

甚至鲁莽行事．

愚者只看脚下，智者紧盯目标．

然而光理解题目是不够的，我们还必须渴望求出它的解答．如果没有强烈的解题愿望，

我们就不可能解出一道难题，只有具备这样的愿望，才有可能解出它．

有志者事竟成．

2.

设计一个方案，构思一条适当行动的思路，是解题中的主要成就．

一个好的思路是一个好运、一个灵感、一份神赐的礼物，我们必须受之无愧：

勤勉是幸

运之母．坚持就是胜利．一口吃不成胖子．出师不利，再三尝试．

然而反复尝试是不够的，

我们必须试着用不同的方法，变化我们的尝试．

千方百计．条条大路通罗马．

3.

我们应该在适当的时候，即在我们的方案成熟的时候，才开始执行它，而不要提

前．我们不能轻率行事．另一方

三思而后行．试验在先，相信在后．巧施援手，确保安全．

不入虎穴，焉得虎子．做最可能的事，抱最大的希望．全力以赴，

面，我们也不应犹豫太久．

天助人愿．

4.不爱再思索的人，必

回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段．

定不善思索．多思出上策．

重新检验解答后，我们可能会对结果更加坚信．但必须向初学者指出，这种额外的验证

是有价值的，两个证明要比一个好．

抛两个锚停泊更安全．

不要相信一切，只怀疑值得怀疑的．

当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看；它们总是成群生长．

谚语，体现了人们的智慧与高尚．

作业

1.

小灰灰和喜羊羊同时从羊村出发去狼村，小灰灰的速度为米秒，喜羊羊的速度

16/

为米秒，问小灰灰和喜羊羊所用的时间比是多少？

12/

作业

2.

小小、红红、豆豆三人各自独立做同一件工作，分别用时分钟、分钟、

102030

分钟，那么他们的效率比是多少？

作业

3.

有、、三个齿轮，其中和相互咬合，和相互咬合．如果齿轮转动

ABCABBCA

3B5B6C4

圈，齿轮恰好转动圈；齿轮转动圈，齿轮恰好转动圈．请问：这三个齿

轮的齿数之比是多少？

作业4.

一天，小高拿着爸爸给他的钱去超市买可乐，平时每瓶可乐3.5元钱，当他到超市

的时候，正巧碰到优惠活动，可乐变为每瓶3元钱，于是小高多买了1瓶可乐．那么爸

爸给了小高多少钱？

作业

5.

小东每天步行上下学，去的时候每秒走米，回来的时候每秒走米，上下学共

21.2

用时分钟，那么小东家到学校的距离是多少米？

24

第十一讲 正反比例的概念与应用

例题1.

答案：（1）4:5．（2）2:3．（3）6:3:2．

详解：小高、墨莫和卡莉娅三人所用时间比为，所行路程相同，可设为“6”份，

40:80:1201:2:3

由此可得速度比为6:3:2．

例题2.

答案：50:70:49

详解：相互咬合的齿轮，它们的齿数与圈数成反比．A、B两个齿轮它们的圈数比为7:5，齿数比为5:7，

B、C两个齿轮它们的圈数比为7:10，齿数比为10:7，由此可得A、B、C三个齿轮的齿数比为50:70:49．

例题3.

答案：60元

详解：卡莉娅所带的钱数一定，因此所购买苹果的单价与斤数成反比．打折前后的单价比为5:4，则

斤数比为4:5，“1”份对应的是3斤，打折前可购买12斤，打折后可购买15斤，妈妈给了卡莉娅60

元钱．

例题4.

答案：100米

3

详解：设步行的时间为“5”份，骑车所用的时间比步行时间少，则骑车所用的时间为“2”份．骑

5

车与步行的时间比为2:5，则速度比为5:2．又知骑车比步行每分钟快150米，则“1”份为

150(52)50

米/分，步行速度为100米/分．

例题5.

答案：2000页

详解：如下图，先比较看了500页之后的情况．实际效率比计划提高，设计划效率为“4”份，则

1

4

实际效率为“5”份．效率比为4:5，时间比为5:4，3天对应“1”份，计划用时15天．这15天是看

完500页后的计划时间，而全书计划看20天，因此看500页计划用5天，每天看100页，全书共2000

页．

开始看书 看完全书

500页

计划

实际

效率提高，提前3天

1

4

例题6.

答案：84

详解：首先可以明确每台机器的效率一样，机器越多则效率越高．从第一个条件可知，完成相同的工

作量，增加机器前后的时间比为8:7，则效率比为7:8．机器的台数与效率成正比，因此台数比也为7:8，

2台机器对应一份，实际上有14台机器．如果减少2台的话，还剩下12台机器．台数比为14:12，即

7:6，那么效率比也为7:6，时间比为6:7，1小时对应“1”份，减少前用时6小时，即完成这件工程

14台机器需工作6小时，则1台机器需工作84小时．

练习1. 答案：（1）8:7；（2）6:4:3

简答：（1）喜羊羊和沸羊羊用的时间比是10.5:12=7:8，那么速度比是8:7；

（2）设这件工程的工作量为12份，那么三人完成工程所用的时间比为．

练习2. 答案：30

简答：三个齿轮的齿数之比为3:4:5，设转过的长度为“60”，由此可得圈数比为20:15:12．A、C两个

齿轮一共转动64圈，由此可求出“1”份对应2圈，B齿轮一共转动了30圈．

练习3. 答案：2240

简答：总租车费不变，每人应付车费和人数成反比．前后应付车费之比是40:35=8:7，那么人数之比

为7:8．由此可知原来有56人，后来变成64人．总租车费为元．

40562240

练习4. 答案：18

简答：甲乙的工作效率之比是9:7．完成同一件工程，两人所需的时间之比是7:9．那么乙单独完成需

要天．

497918



121212

::6:4:3

234

作业

1.

答案：

3:4

简答：路程一定，时间与速度成反比．

作业

2.

答案：

6:3:2

简答：工作量之比为，时间比为．效率比为．

1:1:11:2:36:3:2

作业

3.

答案：

10:6:9

简答：互相咬合的齿轮转过的齿数是相同的，所以齿数与圈数成反比．与的齿数比为，与

AB5:3BC

的齿数比为，那么三个齿轮齿数之比为．

2:310:6:9

作业

4.

答案：

21

简答：总钱数不变，单价与瓶数成反比．单价比为，可知瓶数比为．那么本来可以买瓶，小

7:66:76

高带了元．

21

作业5.

答案：1080

简答：去与回的路程相同，所用时间与速度成反比．去与回的时间比是3:5，那么去用了9分钟，距

离为米．

96021080