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2023年12月1日发(作者：)
2013年中考数学模拟试题汇编 实验应用型
一、选择题
1、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图，在四边形中，∠=90°，=4，连接，
ABCDAADBD
BDCDADBCPBCDP
⊥，∠=∠．若是边上一动点，则长的最小值为____________.
答案：4
二、填空题
1题图
1
1、如图所示，平面镜、的夹角是，光线从平面镜上点出发，照射到平面镜
IIIIOII
15
上的点，再经反射到点，再经点反射到点,接着沿原线路反射回去，则的
AIIBCD
a
大小为 度.
I
O
答案：45
B
D
a
II
AC
15
2．数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：
(a，b)
2
例如把就会得到．现将实数对（）．放入其中，
(3，m,2m2)
3(2)18
ab1
2
放入其中得到实数4，则= ．答案：－1或3
m
三、解答题
1、在北京举行的2008年奥运会中，某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛
项目的情况，随机调查了若干名同学（每人只能选其中一项），根据调查结果制作了频数分
布表和统计图。请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）补全频数分布表和条形统计图；；
（2）根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看篮球比赛的人数．
（3）根据统计图和统计表，谈谈你的想法。
．．．．．．．．．．．．．．．．．
最喜欢收看的项目 频数（人数） 频率
足球 20%
篮球 25%
排球 6
乒乓球 20
其他 12 20%
合计 1
10%
答案：解：（1）最喜欢收看的项目 频数（人数） 频率足球 12
2
C
P
E
B A D
Q
（2）最喜欢收看篮球比赛的人数=1800×25%，=450（人）；
（3）因为喜欢看乒乓球的人数最多，所以在观看比赛时优先安排看乒乓球．
2．（本小题满分8分）
如图，甲船从港口出发沿北偏东15°方向行驶，同时，乙船也从港口出发沿西北
AA
方向行驶。若干小时之后，甲船位于点处，乙船位于港口的北偏东60°方向，距离岸
CB
边 10海里的处。并且观测到此时点、、在同一条直线上。求甲船航行的距离
BDPBPCAC
为多少海里（结果保留根号）？
答案：答案：解：过作⊥，过作⊥
AAEBCPPQBD
B A D
第21题图
C
P
PQ10,tanB,BQ103
sinB,AE535
1
3
同理，
AQ10,AB10310
可求得 ∠=45°，
EAC
1
2
AEBC
⊥
AC5652
3．（本小题满分8分）
张先生前年在美美家园住宅小区订购了一套住房，图纸如图所示。已知：①该住房的价格
a15000
元/平方米；②楼层的电梯、楼梯及门厅前室面积由两户购房者平均负担；③每
户配置车库16平方米，每平方米以6000元计算；
根据以上提供的信息和数据计算：
3
（1）张先生这次购房总共应付款多少元？
（2）若经过两年，该住房价格变为21600元/平方米，那么该小区房价的年平均增长率
为多少？车库价格变为多少？
（3）张先生打算对室内进行装修，甲、乙两公司推出不同的优惠方案：在甲公司累计购
买10000元材料后，再购买的材料按原价的90％收费；在乙公司累计购买5000元材料后，
再购买的材料按原价的95％收费．张先生怎样选择能获得更大优惠？
单位：毫米
答案：解：（1）室内面积=（平方米）
4.654.256.68.45.7100.41
楼梯电梯面积=（平方米）
3.94.23.6534.38
需张先生负担的面积=（平方米）
100.4134.382117.6
总费用=（元）
117.6150001660001860000
（2）设年增长率为，则有
x
（舍去）
15000(1x)21600
x0.2,x2.2
12
年增长率为0.2（或20%）
（3）①如果累计购物不超过5000元，两个公司购物花费一样多；
②如果累计购物超过5000元而不超过10000元，在乙公司购物省钱；
③如果累计购物超过10000元，设累计购物为元（）．
x10000
如果在甲公司购物花费小，则
50000.95(x5000)100000.9(x100)
2
x15000
如果在乙公司购物花费小，则
50000.95(x5000)100000.9(x100)
x15000
4
而当花费恰好是15000元时，在两个店花费一样多．
所以，累计购物超过10000元而不到15000元时，在乙公司购物省钱；累计购物
等于15000元，两个公司花费一样多；而累计购物超过15000元时，在甲公司购
物省钱．
4
'
C
A B
O
4．（本小题满分8分）
小明打算用一张半圆形的纸做一个圆锥。在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为1:2
的两个扇形．
（1）请你在图中画出他的裁剪痕迹．（要求尺规作图，保留作图痕迹）
（2）若半圆半径是3，大扇形作为圆锥的侧面，则小明必须在小扇形纸片中剪下多大的
圆才能组成圆锥？小扇形纸片够大吗（不考虑损耗及接缝）？
第24题图
答案：解：（1）作图略
3
'
（2）
OA3
120
32l
180
小圆半径 正好够剪（能简单描述即可）
r1
弧AC
5、（2013江西高安） 问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的
△ABCBCAC
AB
5
1013
面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网
格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这
△ABC△ABC
①
样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
△ABC
（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________
△ABC
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、
△ABC△ABC
5a
．．．
5
，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画、（）
②
a
22a
17a
a0
出相应的，并求出它的面积．
△ABC
探索创新：
（3）若三边的长分别为、、
△ABC
m16n9m4n2mn
（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．
m0，n0
mn
．．．
A
222222
B
C
（图①） （图②）
答案：（1）；（2）3;(3)5mn
6、在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.
原问题：如图1，已知△, ∠＝90, ∠＝45，分别以、为边向外作△
ABCACBABCABBC
ABDBCEDADBEBECADBBECDEABF
与△, 且＝, ＝，∠＝∠＝90，连接交于点. 探究
线段与的数量关系.
DFEF
小伟同学的思路是：过点作⊥于,构造全等三角形，通过推理使问
DDGABG
题得解.
小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠＝30,∠＝∠＝60.
ABCADBBEC
小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中与的数量关系；
DFEF
（2）如图2，若∠＝30，∠＝∠＝60，原问题中的其他条件不变，你在
ABCADBBEC
（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠＝∠＝2∠，原问题中的其他条件不变，你在（1）中
ADBBECABC
得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.
答案：（1）. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）
DF= EF
（2）猜想：.
DF= FE
A
D
D
F
A
C
图1图2图3
D
B
A
CEE
F
B
F
B
CE
6
证明：过点作⊥于, 则∠=90.
DDGABGDGB
∵ =，∠=60.
DADBADB
∴ =， △是等边三角形.
AGBGDBA
∴ =.
DBBA
∵ ∠=90， ∠=30，
ACBABC
∴ ==. ∴ △≌△.
ACABBGDBGBAC
1
2
∴ =. ∵ ， ∠=60 ，
DGBCBE=ECBEC
∴ △是等边三角形.
EBC
∴ =， ∠=60.
BCBECBE
∴ = ， ∠=∠+∠=90 .
DGBEABEABCCBE
∵ ∠=∠，∠=∠，
DFG EFBDGF EBF
∴ △≌△. ∴ . „„„„„„（7分）
DFGEFBDF= EF
（3）猜想：.
DF= FE
过点作⊥于， 连接、、交于，则∠=90.
DDHABHHCHEHECBKDHB
∵ =, ∴ =, ∠1=∠.
DADBAHBHHDB
∵ ∠=90，∴ =.
ACBHCHB
∵ =，=，
EBECHEHE
∴ △≌△.
HBEHCE
∴ ∠2=∠3，∠4=∠. ∴ ⊥.
BEHHKBC
∴ ∠=90.
BKE
∵ ∠=∠=2∠，
ADBBECABC
∴ ∠=∠=∠.
HDBBEHABC
∴ ∠=∠+∠ =∠+∠=90，
DBCDBHABCDBHHDB
∠=∠+∠ =∠+∠=90.
EBHEBKABCEBKBEK
∴ //，//.
DBHE DHBE
∴ 四边形是平行四边形.
DHEB
∴ =. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）
DFEF
7、如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点与点重合，这时为折痕，△
ACDECBE
为等腰三角形；再继续将纸片沿△的对称轴折叠，这时得到了两个完全重合的矩形
CBEEF
（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、 无重叠的矩形），我们
称这样两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：
A
F
H
2
3
D
1
B
K
C
4
E
7
（1）如图②，正方形网格中的△能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出
ABC
折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△，使其顶点A在格
ABC
点上，且△折成的“叠加矩形”为正方形；
ABC
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么他必须满足的条件是 ．
（说明：只需画出折痕．）
（2）
A
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
B
C
（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该
边上的高相等即可．）
（3）三角形的一边长与该边上的高相
等． ------------------------------------------------5分
8、问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形内（含边）画出使∠=90°的一个
ABCDBPC
点P，保留作图痕迹；
（2）如图2，在边长为3的正方形内（含边）画出使∠=60°的所有的点，保留
ABCDBPCP
作图痕迹并简要说明作法；
（3）如图3，已知矩形，=3，=4，在矩形内（含边）画出使∠ =60°，
ABCDABBCABCDBPC
且使△的面积最大的所有点，保留作图痕迹．
BPCP
AA
D
AD
D
BB
图1图3
CC
B
图2
C
答案：解：
8
（1）如图1，画出对角线与的交点即为点． „„„„„„„ 1分
ACBDP
注：以为直径作上半圆（不含点B、C），则该半圆上的任意一点即可．
BC
（2）如图2， 以为一边作等边△， 作△的外接圆⊙分别与，交于点 、
BCQBCQBCOABDCM
NMNP
， 弧即为点的集合． „„„„„„„ 3分
（3）如图3， 以为一边作等边△， 作△的外接圆⊙与交于点 、 ， 点
BCQBCQBCOADPP
12
PP
12
、即为所求． „„„„„„„ 5分
9、问题背景：
在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的
△ABCBCAC
AB
5
1013
面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网
格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这
△ABC△ABC
①
样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
△ABC
（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________
△ABC
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、
△ABC△ABC
5a
．．．
22a
、（），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画
17a
a0
②
a
出相应的，并求出它的面积．
△ABC
探索创新：
（3）若三边的长分别为、、
△ABC
m16n9m4n2mn
（，且），试运用构图法求出这三角形的面积．
m0，n0
mn
．．．
答案：（1）；（2）3;(3)5mn
10.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
A
222222
B
C
（图①） （图②）
9
A
在等边三角形ABC中，点E在AB上，
点D在CB的延长线上，且ED=EC如图.
，
试确定线段AE与DB的大小关系，并说明
理由.
E
D
B
C
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：
EABAEDB
AEDB
（填“>”,“<”或“=”）．
A
E
D
第2题图1 第2题图2
A
E
B
C
D
B
C
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是： （填“>”,“<”或“=”）．
AEDBAEDB
理由如下：如图2，过点作∥，交于点．（请你完成以下解答过程）
EEFBCACF
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且=．若△的边长为1，
ABCEABDBCEDECABC
AECD
=2，求的长（请你直接写出结果）．
答案：解：（1）= （2）=
在等边三角形中，
而由是正三角形可得
（3）1或3.
11.问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小
值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为（x>0）。
yx
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质。
yx(x＞0)
x
1
2()
a
x
10
1、 填写下表，画出函数的图象：
y
5
x „ „
111
4
432
1 2 3 4
3
y „ „
2
1
－1
5
x
O
1
2 3 4
－1
（第23题）
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
2
③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以
通过配方得到。请你通过配方求函数(x＞0)的最小值。
yx
1
x
解决问题：⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。
答案：解：⑴①，，，2，，，．-------------2分
函数的图象如图．
yx
1710551017
22
4334
1
(x0)
x
-----------------------------------------------------
5分
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数
0x1
yy
xx
x1x1
yx
1
(x0)
的最小值为2．--------------------------------------7分
x
③ =
yx
1
22
1
)(x)(
x
x
111
22
)2x2x(x)(
=
xxx
=
(x)2
1
2
x
11
当=0，即时，函数的最小值为2． -------10分
x
1
1
x1
yx
(x0)
x
x
⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．--------------12分
a
4a
12
-
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