(教师)有介质时的场强和电势电容电场能量

2023年12月24日发(作者：茅以升)

一、选择题

1、〔此题3分〕〔1141〕

一电荷为q的点电荷，处在半径为R、介电常量为1的各向同性、均匀电介质球体的中心处，球外空间充满介电常量为2的各向同性、均匀电介质，则在距离点电荷r (r＜R)处的场强和电势 (选U∞＝0)为：

(A) E＝0，

U

1 qR r

2q ．

4π1r

(B)

EqqU， ．

24π1r4π1rq11qqU， ．

4π1rR42R4π1r2q11qqqU， ．

4π1rR42R4π1r242r2 (C)

E (D)

E2、〔此题3分〕〔5280〕

一平行板电容器中充满相对介电常量为r的各向同性均匀电介质．已知介质外表极化电荷面密度为±′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：

(A)

． (B) ．

00r (C)

． (D) ． ［ ］

20r3、〔此题3分〕〔1707〕

一平行板电容器，两极板间充满各向同性的均匀电介质，其相对介电常量为r．充电后，极板上的自由电荷面密度为．则电介质中的电极化强度P的大小应是

(A)

 /

r． (B)

r．

(C) (r

－1)r

．

(D) (r－1)

(E)

． ［ ］

4、〔此题3分〕〔1225〕

一平行板电容器，两板间距离为d，假设插入一面积与极板面积相同而厚度为d / 2 的、相对介电常量为r的各向同性均匀电介质板(如以下列图)，则插入介质后的电容值与原来的电容值之比C / C0为

dd/2

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(A)

r1． (B) ．

r1r12r2． (D) ． ［ ］

r1r1 (C)

5、〔此题3分〕〔1533〕

将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，把一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如以下列图．介质板的插入及其所处位置的介质板

不同，对电容器储存电能的影响为：

(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关．

(B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关．

(C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关．

(D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关． ［ ］

二、填空题

6、〔此题3分〕〔1627〕

一点电荷q被放在一个介电常量为的有限大各向同性均匀电介质球的中心，则在介质球外距球心为r处的P点的场强大小EP＝____________．

7、〔此题3分〕〔1390〕

一个半径为R的薄金属球壳，带有电荷q，壳内真空，壳外是无限大的相对介电常量为r的各向同性均匀电介质．设无穷远处为电势零点，则球壳的电势U

=____________________________．

8、〔此题4分〕〔1534〕

一空气平行板电容器，其电容为C0，充电后将电源断开，两极板间电势差为U12．今在两极板间充满相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质，则此时电容值C =_____________，___________________． 两极板间电势差U129、〔此题3分〕〔5684〕

在相对介电常量r

= 4的各向同性均匀电介质中，与电能密度we =2×106 J/cm3相应的电场强度的大小E =______________． (真空介电常量10、〔此题3分〕〔1527〕

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0×10-12 C2/(N·m2))

半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×105 J．今将该球与远处一个半径也是R的导体球B用细导线连接．则A球储存的电场能量变为________________．

三、计算题

11、〔此题10分〕〔5771〕

一圆柱形电容器，内外圆筒半径分别为r1和r2，长为L，且L>>

r2，在r1与r3之间用相对介电常量为r的各向同性均匀电介质圆筒填充，其余部分为空气，如以下列图．已知内外导体圆筒间电势差为U，- r1 r2 r3其内筒电势高，求介质中的场强E，电极化强度P，电位移矢量D和半径为r3的圆柱面上的极化电荷面密度'．

12、〔此题10分〕〔1182〕

一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量为r

的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V的电源上，(如以下列图)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点的电场强度和A点与外筒间的电势差．

13、〔此题10分〕〔1889〕

一同心的球形电容器，其内、外球半径分别为R1和R2．两球面间有一半空间充满着相对介电常量为r的各向同性均匀电介质，另一半空间是空气，如以下列图．不计两半球交界处的电场弯曲，试求该电容器的电容．

14、〔此题10分〕〔5791〕

R2L

rR1RAU

rR1OR2

一半径为R的各向同性均匀电介质球，相对介电常量为r，介质球内各点的电荷体密度 = ar，式中a为常量，r是该点到球心的距离，求电场总能量．

四、理论推导与证明题

15、〔此题5分〕〔1888〕

一空气平行板电容器，极板是边长为a的正方形，两极板之间距离为d．两板不是严格平行，有一夹角，如以下列图．证明∶ 当<

d a

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a2aC01

d2d(级数展开式∶ln1xx16、〔此题5分〕〔1132〕

在介电常量为的无限大各向同性均匀电介质中，有一半径为R的孤立导体球．假设对它不断充电使其电荷到达Q，试通过充电过程中外力作功，证明带电导体球的静电能量为

1213xx)

23Q2W．

8R

答案

一、选择题

1、〔此题3分〕〔1141〕

C

2、〔此题3分〕〔5280〕

A

3、〔此题3分〕〔1707〕

C

4、〔此题3分〕〔1225〕

C

5、〔此题3分〕〔1533〕

C

二、填空题

6、〔此题3分〕〔1627〕

q40r2 3分

7、〔此题3分〕〔1390〕

q/(40rR) 3分

8、〔此题4分〕〔1534〕

rC0 2分

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U12/r 2分

9、〔此题3分〕〔5684〕

×1011 V/m 3分

参考解：

we11DE0rE2

22

E10、〔此题3分〕〔1527〕

2we0r×1011 V/m

1.25 ×105 J 3分

三、计算题

11、〔此题10分〕〔5771〕

解：设圆筒上电荷线密度为，由高斯定理可求得两圆筒间任意半径处的电位移矢量为

-ˆ r1 < r

Dr2πr电场强度为

Eˆ r1 < r

1分

r2π0rr

Eˆ r3 < r

1分

r2π0rr1ˆ r1 < r

r电极化强度为

P0eEr2πr

P0 r3 < r

又

Ur3r1rdrdrr2r20rr200231r3r2lnln

r3rr1∴

20U 2分

r21r3lnlnrr1r3ˆ r1 < r < r3

r代入得介质中：

D0U1r3r2lnlnrr3rr1EUr3r2lnlnrrrr31ˆ r1 < r < r3

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P0r1 Ur3r2lnrlnrr3r1ˆ r1 < r < r3

r

PnPr30r1 Ur3r2lnlnrr3r3r1 各1分

12、〔此题10分〕〔1182〕

解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+和, 根据高斯定理可求得两圆筒间任一点的电场强度为

E 2分

20rrR2R2drR则两圆筒的电势差为

UEdrln2

20rr20rR1R1R1解得

20rU

R2lnR1 3分

于是可求得Ａ点的电场强度为

EAR2U= 998 V/m 方向沿径向向外 2分

Rln(R2/R1)R2R2UUdrlnA点与外筒间的电势差：

UEdr = 12.5 V 3分

ln(R2/R1)Rln(R2/R1)RrR13、〔此题10分〕〔1889〕

解：设两球面间电势差为U，则在无介质的半球面上有电荷Q1，有介质的半球面上有电荷Q2．按D的高斯定理可得

D1空气和介质中的场强分别为

E1Q1Q2D ， 2分

2222r2rQ1Q2E ， 2分

220r220rr2由两球面间电势差的计算，可得Q1和Q2．

UQ1Q1R2R1dr

R12r22RR0210R2

Q12π0R1R2U 2分

R2R1学习文档 仅供参考

UR2Q220rr2R1drQ2R2R1

20rR2R1

Q22π0rR1R2U 1分

R2R1R1R2U 1分 球面上的总电荷

QQ1Q2201rR2R1球面电容器的电容

CQU2RR01r12R

2R114、〔此题10分〕〔5791〕

解：电场总能量

W12V02rEdV

介质球内半径为r的小球体内的电荷为

qr0dVar4

介质球内总电荷为 Q = aR4

空间场强分布为 E = (ar2) / (40r) 0

E = (aR4) / (40r2) R

∴

W1a21eR02r42a2R80r16224rdr0rR2016224r2dr

0r8

a2

r6dra2R80rR0801Rr2dr

a2R7

8171

0r

四、理论推导与证明题

15、〔此题5分〕〔1888〕

解：将电容器分割成无数板距不同的微小电容器，其电容为

dC0dSdx0adxdx

整个电容器的电容为无数微小电容的并联

CdCdx0aa00adadxlnd

∵

<<(d/a)，∴(a/d)<<1，将 ln(1+a/d) 展开级数取前二项，得到

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2分

2分

4分

4分

2分

2分

a2a

C01 1分

d2d16、〔此题5分〕〔1132〕

证：设导体球上某时刻已带有电荷q，如果将一微小电荷dq从无穷远处移到球上，则外力克服静电斥力需作功

RR

dAEdqdrqdqdrqdq/(4R) 2分

24r导体球从电荷为零充到Q时，外力作总功为

Q

Aqdq/(4R)Q2/(8R)

0上述外力的功是外界能量转换为静电能量的量度，故导体球的静电能量为

Q2

W8R

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2分

1分