长春市家装公司

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2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷

一．选择题（共8小题）

1．比﹣3大2的数是（）

A．﹣5B．﹣1C．1D．5

2．2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，

又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%

（9400万美元）．其中1560000000用科学记数法表示为（）

A．1.56×109B．1.56×108C．15.6×108D．0.156×1010

3．下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）

A．B．

C．D．

4．下列计算正确的是（）

A．a+2a＝3a2B．a•a2

＝a

3C．（2a）2

＝2a

2D．（﹣a2

）

3

＝a

6

5．一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚

线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的

内角和是多少度？（）

A．1080°B．360°C．180°D．900°

6．小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4

盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（）

A．3×4+2x＜24B．3×4+2x≤24C．3x+2×4≤24D．3x+2×4≥24

7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关

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于x、y的方程组的解是（）

A．B．C．D．

8．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且

AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（）

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共6小题）

9．计算：＝．

10．分解因式：a2

﹣ab＝．

11．如图AB∥CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC＝42°，则

∠AFE的大小是．

12．如图，为了绿化荒山，在坡角∠BAC为31°的山坡上修建扬水站，扬水站中出水口B

的高度BC为50m，现在打算从山脚下的机井房A沿山坡铺设水管，则铺设水管AB的长

度约为m（结果精确到1m）（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°

＝0.60）

3/31

13．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方

向旋转，当CB经过点D时得到△A

1

CB

1

．若AC＝6，BC＝8，则DB

1

的长为．

14．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水

面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为．

三．解答题（共10小题）

15．先化简﹣，再选一个合适的x值代入求值．

16．将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有

数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出

一个球．

（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．

（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？

17．学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平

均增长率．

18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，

AD交⊙O于点E

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（1）求证：AC平分∠DAB

（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．

19．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B均在格点上．

（1）线段AB的长为；

（2）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝，要求保留作图痕

迹（不要求证明）．

20．某家装公司为新建小区做家装设计，调查员设计如下问卷，对家装风格进行专项调查．

【收集数据】通过随机抽样调查50家客户，得到如下数据：

ABBABBACACABADA

AB

BAADBABACACBAAD

AA

ABBDAAABACABDAB

A

【整理、描述数据】调查员根据数据绘制了下面不完整的家装风格统计表

修划记户数

5/31

A正正正正正25

B正正正

C5

D正5

合计/50

（1）补全统计表

【分析数据】

（2）根据抽样调查的结果，将估计出的整个小区的1000户家住户的家庭装修风格绘制

成合适的统计图（绘制一种即可）．

【得出结论】

（3）如果公司准备招聘10名装修设计师（每名装修设计师只擅长一种设计风格），根据

统计数据预测招收A种装修风格的设计师的人数．

21．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场

前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情

况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与

销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，

日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是件，日销售利润是元．

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少

元？

22．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．

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通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半．

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．

[结论应用]

（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在

BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S△

CEF

＝．

（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O

上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．

23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D、E分别是BC、AB的中点，

连结DE．点P从点A出发以每秒4个单位的速度沿AC向点C运动，过点P作AC的垂

线交AB于点M，以PM为直角边向PM下方作△PMN，使∠PMN＝90°，且PM＝2MN．设

点P的运动时间为t（秒）．

（1）填空：AB＝，AM＝．

（2）当点N落在线段BC上时，求t的值．

（3）当△PMN与△BDE重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积

为S平方单位，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

（4）将△PMN绕点M逆时针旋转90°得到△P′MN′，当△P′MN′与△BDE重合

部分的图形是三角形时，直接写出t的取值范围．

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24．规定：当二次函数y＝x2

﹣mx﹣m﹣1与直线y＝﹣2m有两个不同交点时（m为常数），

将函数在直线上方的图象沿直线y＝﹣2m翻折，翻折后的图象记为G

1

，函数在直线y＝

﹣2m及其下方的图象记为G

2

，G

1

和G

2

合起来组成图象G．

（1）当m＝﹣1时，请直接写出图象G所对应的函数表达式．

（2）若点（﹣2，﹣2）在图象G上，求m的值；

（3）当m＝﹣1时，若图象G所对应的函数的自变量满足﹣2≤x≤2，求函数值y的取

值范围．

（4）当图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大，先增

大后减小时，直接写出m的取值范围．

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参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．比﹣3大2的数是（）

A．﹣5B．﹣1C．1D．5

【分析】有理数运算中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值

相减．

【解答】解：﹣3+2＝﹣（3﹣2）＝﹣1．故选B．

2．2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，

又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%

（9400万美元）．其中1560000000用科学记数法表示为（）

A．1.56×109B．1.56×108C．15.6×108D．0.156×1010

【分析】科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：1560000000用科学记数法表示为1.56×10

9

．

故选：A．

3．下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（）

A．B．

C．D．

【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．

【解答】解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是，

故选：D．

4．下列计算正确的是（）

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A．a+2a＝3a2B．a•a2

＝a

3C．（2a）2

＝2a

2D．（﹣a2

）

3

＝a

6

【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项

的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、a+2a＝3a，故本选项错误；

B、a•a2

＝a

3

，故本选项正确；

C、（2a）2

＝4a

2

，故本选项错误；

D、（﹣a2

）

3

＝﹣a

6

，故本选项错误．

故选：B．

5．一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚

线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的

内角和是多少度？（）

A．1080°B．360°C．180°D．900°

【分析】根据题意可得展开图的这个图形是八边形，进而求出内角和．

【解答】解：展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°．

故选：A．

6．小华拿24元钱购买火腿肠和方便面，已知一盒方便面3元，一根火腿肠2元，他买了4

盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（）

A．3×4+2x＜24B．3×4+2x≤24C．3x+2×4≤24D．3x+2×4≥24

【分析】此题中的不等关系：方便面与火腿肠的总价不能超过24元，也就是应＜或等于

24元．

【解答】解：根据题意，得3×4+2x≤24．故选B．

7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），则关

于x、y的方程组的解是（）

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A．B．C．D．

【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．

【解答】解：∵一次函数y＝kx+b和y＝mx+n相交于点（2，﹣1），

∴关于x、y的方程组的解为．

故选：B．

8．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且

AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（）

A．1B．2C．3D．4

【分析】延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．根据反比例函数系数k的几何

意义，得出S

△OAD

＝1，S

矩形OCBD

＝4，则四边形ABCO的面积＝S

矩形OCBD

﹣S

△OAD

＝3．

【解答】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．

∵点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，

∴S

△OAD

＝1，S

矩形OCBD

＝4，

∴四边形ABCO的面积＝S

矩形OCBD

﹣S

△OAD

＝4﹣1＝3．

故选：C．

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二．填空题（共6小题）

9．计算：＝．

【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根

式进行合并．

【解答】解：原式＝3+＝4．

10．分解因式：a2

﹣ab＝a（a﹣b）．

【分析】直接把公因式a提出来即可．

【解答】解：a

2

﹣ab＝a（a﹣b）．

11．如图AB∥CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC＝42°，则

∠AFE的大小是69°．

【分析】先根据邻补角的定义计算出∠AED＝138°，再根据角平分线的定义得到∠DEF

＝69°，然后根据平行线的性质得到∠AFE的度数．

【解答】解：∵∠AEC＝42°，

∴∠AED＝180°﹣42°＝138°，

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF＝∠AED＝69°，

∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠DEF＝69°．

故答案为69°．

12．如图，为了绿化荒山，在坡角∠BAC为31°的山坡上修建扬水站，扬水站中出水口B

的高度BC为50m，现在打算从山脚下的机井房A沿山坡铺设水管，则铺设水管AB的长

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度约为96m（结果精确到1m）（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°

＝0.60）

【分析】在△ABC中，∵∠BAC＝31°，根据sin31°＝计算即可；

【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝31°，BC＝50m，

∴sin31°＝，

∴AB＝≈96（m），

故答案为96．

13．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方

向旋转，当CB经过点D时得到△A

1

CB

1

．若AC＝6，BC＝8，则DB

1

的长为3．

【分析】根据勾股定理得到AB＝＝＝10，由直角三角形的性质的

CD＝AB＝5，由旋转的性质得到CB

1

＝BC＝8，于是得到结论．

【解答】解：∵在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∵点D为AB的中点，

∴CD＝AB＝5，

∵将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A

1

CB

1

．

∴CB

1

＝BC＝8，

∴DB

1

＝8﹣5＝3，

故答案为：3．

13/31

14．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水

面的距离是2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为．

【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y＝ax

2

．根据AB＝1.6，涵洞顶点O

到水面的距离为2.4m，那么B点坐标应该是（0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可求出函

数的解析式，继而求出点D的坐标及ED的长．

【解答】解：∵抛物线y＝ax

2

（a＜0），

点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4），

它的坐标代入y＝ax

2

（a＜0），

求得a＝﹣，

所求解析式为y＝﹣x

2

．

再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），

则有：﹣0.9＝﹣x

2

．，

解得：x＝±，

所以宽度为，

故答案为：．

三．解答题（共10小题）

15．先化简﹣，再选一个合适的x值代入求值．

【分析】此题需先根据分式的混合运算顺序和法则把﹣进行化简，再选一

个合适的x值代入即可（不能代入±1）．

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【解答】解：原式＝﹣

＝﹣

＝．

当x＝2时，原式＝1．

16．将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有

数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4．从甲、乙两个口袋中各随机摸出

一个球．

（1）用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．

（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和达到某种效果的可能，然

后根据概率公式求出该事件的概率．

【解答】解：（1）

或

甲袋

和

乙袋

234

2456

4678

摸出的两个球上数字之和为5的概率为．

（2）从表看，摸出的两个球上数字之和为6时概率最大．

17．学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平

均增长率．

【分析】本题是经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后

的结果．设这两年的年平均增长率为x%，则经过两次增长以后图书馆有书5（1+x%）

2

万册，即可列方程求解．

15/31

【解答】解：设这两年的年平均增长率为x%，根据题意列方程得5（1+x%）

2

＝7.2

即1+x%＝±1.2

解得x

1

＝20，x

2

＝﹣220

经检验x

2

＝﹣220不符合题意，舍去，所以x＝20．

答：这两年的年平均增长率为20%．

18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，

AD交⊙O于点E

（1）求证：AC平分∠DAB

（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA＝∠CAO＝∠

DAC，即可得出答案；

（2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CE＝BC＝6，根据勾股定理求

出AB即可．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴CD⊥OC，

又∵CD⊥AD，

∴AD∥OC，

∴∠CAD＝∠ACO，

∵OA＝OC，

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∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）解：∵∠CAD＝∠CAO，

∴＝，

∴CE＝BC＝6，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

由勾股定理得：AB＝＝＝10，

即⊙O直径的长是10．

19．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B均在格点上．

（1）线段AB的长为2；

（2）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝，要求保留作图痕

迹（不要求证明）．

【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB＝2，

（2）作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可．

【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝2，

故答案为：2；

（2）∵AB＝2，

所以，AP＝时，AP：BP＝2：1．

点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．

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20．某家装公司为新建小区做家装设计，调查员设计如下问卷，对家装风格进行专项调查．

【收集数据】通过随机抽样调查50家客户，得到如下数据：

ABBABBACACABADA

AB

BAADBABACACBAAD

AA

ABBDAAABACABDAB

A

【整理、描述数据】调查员根据数据绘制了下面不完整的家装风格统计表

修划记户数

A正正正正正25

B正正正15

C正5

D正5

合计/50

（1）补全统计表

【分析数据】

（2）根据抽样调查的结果，将估计出的整个小区的1000户家住户的家庭装修风格绘制

成合适的统计图（绘制一种即可）．

【得出结论】

（3）如果公司准备招聘10名装修设计师（每名装修设计师只擅长一种设计风格），根据

18/31

统计数据预测招收A种装修风格的设计师的人数．

【分析】（1）根据统计表中的数据进行计算即可；

（2）根据抽样调查的结果，绘制成合适的统计图，如扇形统计图；

（3）根据抽样调查的结果A种装修风格所占是比例，即可预测招收A种装修风格的设计

师的人数．

【解答】解：（1）补全的统计表为

装修风格划记户数

A正正正正正25

B正正正15

C正5

D正5

合计/50

（2）A.×360°＝50%×360°＝180°；

B.×360°＝30%×360°＝108°；

C.×360°＝10%×360°＝36°；

D.×360°＝10%×360°＝36°；

扇形统计图如图所示．

（3）∵，

∴中式设计师可招约5人．

21．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场

前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元/件，工作人员对销售情

19/31

况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与

销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，

日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是330件，日销售利润是660元．

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少

元？

【分析】（1）由时间每增加1天日销售量减少5件结合第22天的日销售量为340件，即

可求出第24天的日销售量，再根据日销售利润＝每件的利润×日销售量，即可求出第24

天的日销售利润；

（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD、DE的函数关系式，联立两函数

关系式成方程组可求出点D的坐标，结合点E的横坐标，即可找出y与x之间的函数关

系式；

（3）根据日销售量＝日销售利润÷每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OD、

DE的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于640元的天数，

再根据点D的坐标结合日销售利润＝每件的利润×日销售量，即可求出日销售最大利润．

【解答】解：（1）340﹣（24﹣22）×5＝330（件），

（8﹣6）×330＝660（元）．

故答案为：330；660．

（2）设直线OD的函数关系式为y＝kx+b，

将（0，0）、（17，340）代入y＝kx+b，

，解得：，

∴直线OD的函数关系式为y＝20x．

设直线DE的函数关系式为y＝mx+n，

将（22，340）、（24，330）代入y＝mx+n，

20/31

，解得：，

∴直线DE的函数关系式为y＝﹣5x+450．

联立两函数解析式成方程组，

，解得：，

∴点D的坐标为（18，360）．

∴y与x之间的函数关系式为y＝．

（3）640÷（8﹣6）＝320（件），

当y＝320时，有20x＝320或﹣5x+450＝320，

解得：x＝16或x＝26，

∴26﹣16+1＝11（天），

∴日销售利润不低于640元的天数共有11天．

∵折线ODE的最高点D的坐标为（18，360），360×2＝720（元），

∴当x＝18时，日销售利润最大，最大利润为720元．

22．[教材呈现]图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．

通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半．

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．

[结论应用]

（1）如图②，在Rt△ABC中，F是AD中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在

BC上（点D不与B、C重合），DE⊥AB于点E，连结CE、CF、EF．当AD＝4时，S△

CEF

＝．

（2）如图③，AD是⊙O直径，点C、E在⊙O上（点C、E位于直径AD两侧），在⊙O

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上，且sin∠DAC＝，CD＝2．当四边形OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长．

【分析】[教材呈现]DF∥BC，DE∥AC，CD是中线，故AF＝FC，BE＝EC，则DA＝DC，

DB＝DC，即可求解；

[结论应用]（1）证明∠CFE＝2α+2β＝120°，故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等

腰三角形，即可求解；

（2）①当CD∥OE时，如图③（左侧图），OH＝ODcosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，

同理DH＝2，DE＝＝2，即可求解；

②当OC∥DE时，如图③（右侧图），DE＝2DN＝2×ODcos2α＝2×3×＝，即可

求解．

【解答】解：[教材呈现]已知：△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，

求证：CD＝AB．

证明：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

则DF∥BC，DE∥AC，

∵CD是中线，

∴AF＝FC，BE＝EC，

∴直线DE是线段AC的垂直平分线，直线DE是线段BC的垂直平分线，

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∴DA＝DC，DB＝DC，

∴CD＝DA＝DB＝AB；

[结论应用]（1）CF、FE分别是Rt△ACD、Rt△ADE的中线，

则CF＝EF＝AD＝2，

设：∠CAF＝α＝∠ACF，∠FAE＝β＝∠AEF，

∠CAB＝α+β＝60°，

∠CFE＝∠FCA+∠FAC+∠FEA+∠FAE＝2α+2β＝120°，

故△CEF为腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，

过点F作FH⊥CE，

则S

△CEF

＝×CE×FH＝2×1＝，

故答案为：；

（2）设sin∠DAC＝＝sinα，CD＝2，则AD＝6，

OC＝OE＝AD＝3，

①当CD∥OE时，如图③（左侧图），

则∠ADC＝∠DOE＝∠β，sin＝cosβ，

过点D作DH⊥OE交OE于点H，

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OH＝ODcosβ＝3×＝1，则HE＝3﹣1＝2，

同理DH＝2，

DE＝＝2，

AE＝＝＝2；

②当OC∥DE时，如图③（右侧图），

则∠COD＝∠ODE＝2α，

过点O作ON⊥DE于点N，则DN＝EN，

DE＝2DN＝2×ODcos2α＝2×3×＝（注：cos2α的求法见备注），

AE＝＝＝；

综上，AE＝2或；

备注：等腰三角形ABC，AB＝AC，

作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，

设∠BAD＝∠CAD＝α，设sin，

设BD＝CD＝a，

则AB＝AC＝3a，则AD＝2a，

S△ABC

＝AD×BC＝AB×CE，

即2a×2a＝3a×CE，则CE＝，

sin2α＝＝，则cos2α＝．

23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D、E分别是BC、AB的中点，

连结DE．点P从点A出发以每秒4个单位的速度沿AC向点C运动，过点P作AC的垂

线交AB于点M，以PM为直角边向PM下方作△PMN，使∠PMN＝90°，且PM＝2MN．设

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点P的运动时间为t（秒）．

（1）填空：AB＝10，AM＝4t．

（2）当点N落在线段BC上时，求t的值．

（3）当△PMN与△BDE重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积

为S平方单位，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

（4）将△PMN绕点M逆时针旋转90°得到△P′MN′，当△P′MN′与△BDE重合

部分的图形是三角形时，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）利用勾股定理以及平行线分线段成比例定理解决问题即可．

（2）根据PA+PC＝8构建方程即可解决问题．

（3）分两种情形：如图3﹣1中，当1＜t≤时，重叠部分是四边形MNKH．如图3﹣

2中，当≤t＜2时，重叠部分是四边形KMHD，分别求出即可解决问题．

（4）求出几个特殊位置t的值即可判断．

【解答】解：（1）如图1中，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

∵PM⊥AC，

∴∠APM＝∠C＝90°，

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∴PM∥BC，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴AM＝5t，PM＝3t．

故答案为10，4t．

（2）如图2中，当点N落在BC上时，

∵∠CPM＝∠PMN＝∠C＝90°，

∴四边形PMNC是矩形，

∴PC＝MN＝PM＝t，

∵PA+PC＝8，

∴4t+t＝8，

∴t＝．

（3）如图3﹣1中，当1＜t≤时，重叠部分是四边形MNKH，S＝S

△PMN

﹣S

△PHK

＝

×3t×t﹣×3×＝t

2

﹣t．

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如图3﹣2中，当≤t＜2时，重叠部分是四边形KMHD，S＝KM•MH＝（3t﹣3）×（8

﹣4t）＝﹣12t

2+36t﹣24．

（4）如图4﹣1中，当直线P′N′经过点E时，作ET⊥MN′于T．

∵△MTE∽△BCA，

∴EM：TE：MT＝AB：AC：BC＝5：4：3，设MT＝3k，TE＝4k，EM＝5k，

∵TE∥MP′，

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∴∠TEN′＝∠P′，

∴tan∠TEN′＝tan∠P′＝＝，

∴TN′＝2k，

∵MN′＝t，ME＝5﹣5t，

∴3k+2k＝t，5﹣5t＝5k，

解得t＝．

如图4﹣2中，当直线P′N′经过点B时，作BT⊥MN′于T．

同法可得：3k+2k＝t，5k＝10﹣5t，

解得t＝，

如图4﹣3中，当点P′落在BC上时，4t+3t＝8，解得t＝

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观察图象可知满足条件的t的值为＜t≤或≤t＜2．

24．规定：当二次函数y＝x2

﹣mx﹣m﹣1与直线y＝﹣2m有两个不同交点时（m为常数），

将函数在直线上方的图象沿直线y＝﹣2m翻折，翻折后的图象记为G

1

，函数在直线y＝

﹣2m及其下方的图象记为G

2

，G

1

和G

2

合起来组成图象G．

（1）当m＝﹣1时，请直接写出图象G所对应的函数表达式．

（2）若点（﹣2，﹣2）在图象G上，求m的值；

（3）当m＝﹣1时，若图象G所对应的函数的自变量满足﹣2≤x≤2，求函数值y的取

值范围．

（4）当图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大，先增

大后减小时，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）y＝x

2

﹣mx﹣m﹣1＝x

2+x，顶点为：（﹣，﹣），由中点公式，则翻折后

的图象顶点坐标为：（﹣，），即可求解；

（2）翻折后的顶点坐标为：（，m

2

﹣3m+1），故翻折后的图象表达式为：y′＝﹣x

2+mx

﹣3m+1，即可求解；

（3）由（1）知，图象G所对应的函数表达式为：y＝，

当﹣2≤x≤1时，﹣≤y≤2，当1＜x≤2时，﹣2≤y≤2，即可求解；

（4）①当m≥2时，x＝1或m﹣1，故y＝，当x在

对称轴左侧时，在点A两侧，图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随

自变量x的增大，先增大后减小，故；当x在对称轴右侧时，在点B

两侧，图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大，先增大

后减小，即可求解；②当m＜2时，同理可解．

【解答】解：（1）y＝x

2

﹣mx﹣m﹣1＝x

2+x，顶点为：（﹣，﹣），

y＝2，

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x2+x＝2，解得：x＝1或﹣2，

由中点公式，则翻折后的图象顶点坐标为：（﹣，），

故翻折后的图象表达式为：y＝﹣（x+）

2+；

故图象G所对应的函数表达式为：y＝；

（2）y＝x

2

﹣mx﹣m﹣1，顶点坐标为：（，﹣m

2

﹣m﹣1），

由中点公式得，翻折后的顶点坐标为：（，m

2

﹣3m+1），

故翻折后的图象表达式为：y′＝﹣（x﹣m）

2+m2

﹣3m+1＝﹣x

2+mx﹣3m+1，

当点（﹣2，﹣2）落在y′上时，将该点坐标代入上式并解得：m＝﹣；

当点（﹣2，﹣2）落在y＝x

2

﹣mx﹣m﹣1上时，同理可得：m＝﹣5，

故m＝﹣5或﹣；

（3）由（1）知，图象G所对应的函数表达式为：y＝，

当﹣2≤x≤1时，﹣≤y≤2，

当1＜x≤2时，﹣2≤y≤2，

故﹣2≤y≤2；

（4）由（2）知，翻折后的图象表达式为：y′＝﹣x

2+mx﹣3m+1，

联立y＝x

2

﹣mx﹣m﹣1与直线y＝﹣2m并解得：x＝，

①当m≥2时，x＝1或m﹣1，如下图，

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故y＝，

当x在对称轴左侧时，

在点A两侧图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大，

先增大后减小，

故，解得：3≤m＜4；

当x在对称轴右侧时，

在点B两侧图象G所对应函数在﹣m﹣1≤x≤﹣m+3上函数值y随自变量x的增大，

先增大后减小，

即，解得：m≥；

故：3≤m＜4；

②当m＜2时，x＝m﹣1或1，

故y＝，

当x在对称轴左侧时，

同理可得：，解得：无解；

当x在对称轴右侧时，

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同理可得：，解得：﹣2＜m≤﹣；

故：﹣2＜m≤﹣；

综上，﹣2＜m≤﹣或3≤m＜4．