拉门图片

驻马店市第十三初级中学

1

驻马店市第十三中学集体备课教案

2018-2019学年度第一学期

学科：数学主备人：岳素贞审批人：周次：第1周

课题菱形的性质课时安排1课时总课时数6

备课组九年级辅备人王光辉课型新授课授课时间

教

学

目

标

知识与技能

掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．(重点、难点)

过程与方法

通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联

系；通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形

的特征；

情感、态度

和价值观

经历探索菱形的性质的过程，培养学生的自主探索能力和合作交流能力，提高发

现问题分析问题解决问题的能力。

重点、难点

掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导．

教学方法讲授法、演示法、练习法教具三角板、多媒体课件

教

学

过

程

集体备课详案

二次备课

一、情景导入

请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，

改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

总结：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等．(2)

菱形是特殊的平行四边形，即当一个平行四边形的一组邻边相等时，该平行四边

形是菱形．不能忽略平行四边形这一前提，而错误地认为有一组邻边相等的四边

形就是菱形．

二、合作探究

探究点一：菱形的性质

【类型一】菱形的四条边相等

如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长

是()

A．10

B．12

C．15

D．20

解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出

△ABD的周长．

∵四边形ABCD是菱形，

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2

∴AB＝AD.

又∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴△ABD的周长＝3AB＝15.

故选C.

方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等

边三角形，这是非常有用的基本图形．

【类型二】菱形的对角线互相垂直

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，

AC＝6cm，求菱形的周长．

解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱

形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进

行计算．

解：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

AO＝

1

2

AC，BO＝

1

2

BD.

因为AC＝6cm，BD＝12cm，

所以AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，得

AB＝AO2＋BO2＝32＋62＝35(cm)．

所以菱形的周长＝4AB＝4×35＝125(cm)．

方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形

的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．

【类型三】菱形是轴对称图形

如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE

＝AF.

解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF.

证明：连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠BAD，

即∠BAC＝∠DAC.

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠AEC＝∠AFC＝90°.

在△ACE和△ACF中，

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3









∠AEC＝∠AFC，

∠BAC＝∠DAC，

AC＝AC，

∴△ACE≌△ACF.

∴AE＝AF.

方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，

每条对角线平分一组对角．

探究点二：菱形的面积的计算方法

如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB

中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.

解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，

又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间

距离的乘积，从而求得两对边的距离．

解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，

于是S△AOB

＝

1

2

OA·OB＝

1

2

×5×12＝30，

所以S菱形ABCD

＝4S△AOB

＝4×30＝120.

又因为菱形两组对边的距离相等，

所以S菱形ABCD

＝AB·h＝13h，

所以13h＝120，得h＝

120

13

.

方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的

高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)

两条对角线长度乘积的一半．

板

书

设

计

教

学

反

思

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4

驻马店市第十三中学集体备课教案

2018-2019学年度第一学期

学科：数学主备人：岳素贞审批人：周次：第1周

课题菱形的判定课时安排1总课时数6

备课组九年级辅备人王光辉课型新授课授课时间

教

学

目

标

知识与技能

1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点)

2．灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算．(难点)

过程与方法

通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的判

定定理

情感、态度

和价值观

经历菱形的证明、猜想的过程，进一步提高学生的推理论证能力。

重点、难点

见上

教学方法讲授法、谈话法、练习法教具三角板、多媒体课件

教

学

过

程

集体备课详案

二次备课

一、情景导入

木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？

借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边

形ABCD是菱形．

二、合作探究

探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

如图所示，ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于

点E，F.求证：四边形DEBF是菱形．

解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要

证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”

证明其为菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC.

∴∠FDO＝∠EBO.

又∵EF垂直平分BD，

∴OB＝OD.

在△DOF和△BOE中，

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5









∠FDO＝∠EBO，

OD＝OB，

∠FOD＝∠EOB，

∴△DOF≌△BOE(ASA)．

∴OF＝OE.

∴四边形DEBF是平行四边形．

又∵EF⊥BD，

∴四边形DEBF是菱形．

方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对

角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的．

探究点二：四边相等的四边形是菱形

如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿

射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接

AD.求证：四边形ACFD是菱形．

解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利

用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论．

证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.

∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，

∴AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10(cm)，

∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，

∴四边形ACFD是菱形．

方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都

相等来判定一个四边形是菱形比较方便．

探究点三：菱形的判定和性质的综合应用

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延

长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC且2DE＝BC.

又∵BE＝2DE，EF＝BE，

∴EF＝BC，EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形．

又∵EF＝BE，

∴四边形BCFE是菱形；

(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，

∴△EBC是等边三角形，

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6

∴菱形的边长为4，高为23，

∴菱形的面积为4×23＝83.

方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以

证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂

直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明

菱形．

板

书

设

计

教

学

反

思

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驻马店市第十三中学集体备课教案

2018-2019学年度第一学期

学科：数学主备人：岳素贞审批人：周次：第1周

课题矩形的性质课时安排1总课时数6

备课组九年级辅备人王光辉课型新授课授课时间

教

学

目

标

知识与技能

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)

2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)

过程与方法

经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩

形的概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形。

情感、态度

和价值观

经历探索矩形的性质的过程，培养学生的自主探索能力和合作交流能力，提高

发现问题分析问题解决问题的能力。

重点、难点

见上

教学方法讲授法、演示法、练习法教具三角板、多媒体课件

教

学

过

程

集体备课详案

二次备课

一、情景导入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井

架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它

还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生

观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．

有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不

一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．

二、合作探究

探究点一：矩形的性质

【类型一】矩形的四个角都是直角

如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC

＝15，则△AEC的面积为()

A．15

B．30

C．45

D．60

解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.

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8

∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，

∴EF＝BE＝4，

∴S△AEC

＝

1

2

AC·EF＝

1

2

×15×4＝30.故选B.

方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．

【类型二】矩形的对角线相等

如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，

则AC的长是()

A．2

B．4

C．23

D．43

解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝

1

2

AC，由∠AOD

＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长．

∵四边形ABCD为矩形，

∴AC＝BD，OA＝OC＝

1

2

AC，OD＝OB＝

1

2

BD，

∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°，

∴△AOD为等边三角形，

∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4.

故选B.

探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE

的中点，试说明GF⊥DE.

解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想

到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．

解：连接EG，DG.

∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°.

∵点G是BC的中点，

∴EG＝

1

2

BC，DG＝

1

2

BC.

∴EG＝DG.

又∵点F是DE的中点，

∴GF⊥DE.

探究点三：矩形的性质的应用

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9

【类型一】利用矩形的性质求有关线段的长度

如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，

且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32列方程

求出AE的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴∠CED＋∠ECD＝90°.

又∵EF⊥EC，

∴∠AEF＋∠CED＝90°，

∴∠AEF＝∠ECD.

而EF＝EC，

∴△AEF≌△DCE，

∴AE＝CD.

设AE＝xcm，

∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm，

则有x＋4＋x＝16，解得x＝6.

即AE的长为6cm.

方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，

可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．

【类型二】利用矩形的性质求有关角度的大小

如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE

和∠EAO的度数．

解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，

从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，

AO＝

1

2

AC，BO＝

1

2

BD，AC＝BD，

∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.

又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，

∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.

∵AE⊥BD，

∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，

∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°

∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.

方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行

或垂直的重要依据．

【类型三】利用矩形的性质求图形的面积

如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、

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10

F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()

A.

1

5

B.

1

4

C.

1

3

D.

3

10

解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BEO≌△DFO，则阴影部分的面积

等于△AOB的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的

1

4

，故阴影部分的面积

为矩形面积的

1

4

.故选B.

方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运

用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．

【类型四】矩形中的折叠问题

如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD

于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．

解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知

△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE.在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE

的长，即可求得△BED的面积．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠2＝∠3.

又由折叠知△BC′D≌△BCD，

∴∠1＝∠2.

∴∠1＝∠3.∴BE＝DE.

设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.

∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，

∴42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，

即DE＝5.

∴S△BED

＝

1

2

DE·AB＝

1

2

×5×4＝10.

板

书

设

计

教

学

反

思

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驻马店市第十三中学集体备课教案

2018-2019学年度第一学期

学科：数学主备人：岳素贞审批人：周次：第1周

课题矩形的判定课时安排1总课时数6

备课组数学组辅备人王光辉课型新授课授课时间

教

学

目

标

知识与技能

1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)

2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)

过程与方法

通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会

运用定理解决相关问题．

情感、态度

和价值观

通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探

索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.

重点、难点

见上

教学方法讲授法、演示法、问答法教具直尺、课件、翻页笔

教

学

过

程

集体备课详案

二次备课

一、情景导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短

木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？

看看谁的方法可行！

二、合作探究

探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形

如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，

里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝

DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．

解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再

证明其对角线相等．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.

∵AM＝BP＝CN＝DQ，

∴OM＝OP＝ON＝OQ.

∴四边形MPNQ是平行四边形．

又∵OM＋ON＝OQ＋OP，

∴MN＝PQ.

∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能

否用对角线的条件证明矩形．

探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形

如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、

BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC

是矩形．

解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．

驻马店市第十三初级中学

12

证明：∵GE∥HF，

∴∠GAB＋∠ABH＝180°.

∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，

∴∠1＝

1

2

∠GAB，∠4＝

1

2

∠ABH，

∴∠1＋∠4＝

1

2

(∠GAB＋∠ABH)＝

1

2

×180°＝90°，

∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.

同理可得∠ACB＝90°.

又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，

∠4＝

1

2

∠ABH，∠2＝

1

2

∠FBA，

∴∠2＋∠4＝

1

2

(∠ABH＋∠FBA)＝

1

2

×180°＝90°，即∠DBC＝90°.

∴四边形ADBC是矩形．

方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和

联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．

探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形

如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A

点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.

(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用

“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，

再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平

行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四

边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的

条件必须是AB＝AC.

解：(1)BD＝CD.理由如下：

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE.

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE.

在△AEF和△DEC中，









∠AFE＝∠DCE，

∠AEF＝∠DEC，

AE＝DE，

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13

∴△AEF≌△DEC(AAS)，

∴AF＝DC.

∵AF＝BD，

∴BD＝DC；

(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∴AB＝AC，BD＝DC，

∴∠ADB＝90°.

∴四边形AFBD是矩形．

方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是

直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．

板

书

设

计

教

学

反

思

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14

驻马店市第十三中学集体备课教案

2018-2019学年度第一学期

学科：数学主备人：岳素贞审批人：周次：第1周

课题正方形的性质课时安排1总课时数6

备课组九年级辅备人王光辉课型新授课授课时间

教

学

目

标

知识与技能

1、熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。

2、知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。

过程与方法

通过探索与交流，得出正方形性质，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用

定理解决相关问题．

情感、态度

和价值观

通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探

索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.

重点、难点

见上

教学方法讲授法、演示法、问答法教具直尺、课件、翻页笔

教

学

过

程

集体备课详案

二次备课

一、课前准备：

温故：1、矩形的性质是什么？

2、菱形的性质是什么？

二、初步探究

1、同学们观察下列一组图片、你发现了那些几何图形：

2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题.

问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数

量关系？

3、图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？（组内交流、互相指出来）

4、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形具的

性质，同时又具有的性质．

总结：正方形的性质：

正方形边的性质：

驻马店市第十三初级中学

15

正方形角的性质：

正方形对角线的性质：

结论：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形.所以它具有

这些图形的所有性质.正方形是轴对称图形，有四条对称轴.四条边相等、四个角

是直角、对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.

三、对应练习

1）正方形的边长为4cm，则周长为（），面积为（），对角线长为（）；

2））正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4cm,则正方形的边长为

（），周长为（），面积为（）

3）在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，OA=,AC=。

4）1、正方形具有而矩形不一定具有的性质是()

A、四个角相等B、对角线互相垂直平分C、对角互补D、对角线相等.

5）、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等B对角线互相垂直平分C对角线平分一组对角D对角线

相等.

6）、正方形对角线长6，则它的面积为_________,周长为________．

7）、顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）

A．1/2B．1/3C．1/4D．1/5

四：范例讲解：1、（课本P21例1）学生自己阅读课本内容、注意证明过程的书写

2、如图，分别以△ABC的边AB,AC为一边向外画正方形AEDB和正方形ACFG，

连接CE,BG.求证：BG=CE

板

书

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计

教

学

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驻马店市第十三初级中学

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驻马店市第十三中学集体备课教案

2018-2019学年度第一学期

学科：数学主备人：岳素贞审批人：周次：第1周

课题正方形的判定课时安排1总课时数6

备课组九年级辅备人王光辉课型新授课授课时间

教

学

目

标

知识与技能

1．掌握正方形的判定方法；(重点)

2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算．(难点)

过程与方法

经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学

习习惯，逐步掌握说理的基本方法．

情感、态度

和价值观

理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.

重点、难点

见上

教学方法讲授法、演示法、问答法教具直尺、课件、翻页笔

教

学

过

程

集体备课详案

二次备课

一、情景导入

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有

怎样的包含关系？请填入下图中．

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特

殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊

的平行四边形．

1．怎样判断一个四边形是矩形？

2．怎样判断一个四边形是菱形？

3．怎样判断一个四边形是平行四边形？

4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？

二、合作探究

探究点一：正方形的判定

【类型一】先证明是矩形再证明是正方形

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已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线

交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．

解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，

证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．

证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC＝∠DEC＝90°.

又∠C＝90°，

∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．

∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，

∴DF＝DG.

同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.

∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．

方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一

组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或

对角线相等．

【类型二】先证明是菱形再证明是正方形

如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：

四边形EFGH是正方形．

解析：已知EG⊥FH，要证四边形EFGH为正方形，则只需要证四边形的对

角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝

OG＝OF.

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH.

∵EG⊥FH，

∴∠BOE＋∠BOH＝90°，

∴∠COH＝∠BOE，

∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH.

同理可证：OE＝OF＝OG，

∴OE＝OF＝OG＝OH.

又∵EG⊥FH，

∴四边形EFGH为菱形．

∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF，

∴四边形EFGH为正方形．

方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系

填空：

(1)对角线________________的四边形是矩形；

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(2)对角线____________的平行四边形是矩形；

(3)对角线__________的平行四边形是正方形；

(4)对角线________________的矩形是正方形；

(5)对角线________________的菱形是正方形．

解：(1)相等且互相平分(2)相等(3)垂直且相等(4)垂直(5)相等

方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的

性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行

四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻

边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是

矩形，又是菱形．

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