《平面图形的密铺》教学案例 水果湖一中刘军

如何引导学生开展探究性数学学习

-------------《平面图形的密铺》教学案例

湖北省水果湖第一中学 刘 军

·使用教材 义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级下册

·教学环境 多媒体教室（有视频展示台）

一、教学目标

1. 知识与技能目标：

（1）通过对“拼地板”的探索，让学生经历探索多边形密铺（镶嵌）的条件的过程，强化学生

对多边形内角和其及有关几何事实的认识，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺；并

能运用这几种图形进行简单的密铺设计；

（2）培养学生观察、动手操作能力。

2. 过程与方法目标：

渗透初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、总结

并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一步发展学生的合情推理能力。

3. 情感与态度目标：

（1）让学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，将书本知识与生产生活实践有机地

结合；

（2）开发、培养学生实践意识、创新精神和团结协作的精神；

（3）学生在活动中感受数学的朴实之美，数学的和谐之美，进一步发展学生的审美情趣。

二、教材分析

教学重点：探索多边形密铺的条件的过程以及多边形密铺的条件。

教学难点：如何运用多边形的有关知识，解决密铺中的问题，并寻找多边形密铺的条

件。

三、学校及学生状况分析

我校是湖北省教育厅直属的示范中学，办学条件良好，有一栋教学楼，一栋实验楼，一栋综合楼，

一栋办公楼，一个多功能报告厅，3间多媒体教室，每个班配有电脑和大屏幕电视。本班的学生绝

大部分来自武汉大学等高校和省直机关，有较好的学习基础。

1

四、课前准备

教学设备或教辅工具：

1．将学生按四人一组进行分组。

2．多媒体、教学图片。

3．颜色各异的各种多边形图纸。

学生课前准备：全等的多边形纸板、胶水、笔、纸等。

五、教学实录

1． 创设情境，提出本次学习活动的主题

师：在我们的周围有一些美丽、神奇的图案，请我们一起来欣赏一组图案：

（多媒体展示一组时装秀和密铺图案）

师：这些图案有什么共同特征呢？

（同学们分组讨论、交流）

生：这些图案是用一种或几种形状相同的图形组成的。

生（补充）：这些图形不但是形状相同，而且大小也一样。

师：也就是全等的图形。

生：这些图形与图形之间没有缝隙，也没有重叠。

师：很好！这些图案是“用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、

不重叠地铺成一片”，这就是数学上“平面图形的密铺”，又称做“平面图形的镶嵌”。这节课，

我们一起来研究简单的“平面图形的密铺”。

（多媒体投影本课课题及“平面图形的密铺”的概念）

（

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙、不重

叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌）

师：在我们生活中，有许多图案是“平面图形的密铺”。不知同学们是否曾留意过身边的一些密铺图

案？你能举出你身边的密铺图案吗？

（同学们议论纷纷）

生：“麦当劳”餐厅里的地板图案。

生：洪山广场旁边人行道上地砖铺成的图案也是密铺图案。

生：一些宾馆房间里墙纸上的花纹也是密铺图案。

„ „

2

师：大家都十分注意观察，在生活中处处都有数学。刚才大家举的例子都是含有密铺图案，老师也

收集了一些生活中的密铺图案，请同学们分享、评价。

（多媒体播放一组密铺图案，美妙的图案、绚丽的色彩让同学们兴奋不已）

【点评：体现教师既是学习活动的组织者，也是学习活动的参与者和合作者。近年来，随着社

会经济的不断发展，建筑市场日益扩大以及人民生活水平的不断提高，室内装饰作为一个集数学、

物理学、心理学、行为学、环境美术文化艺术、建筑美术、造型艺术等多学科边缘科学的新兴行业，

正在高速发展。此问题让学生明白数学源于实践，生活中处处有数学。】

2．探索用一种大小相同的多边形密铺

师：但生活中最常见的还是用特殊的多边形，如：三角形、四边形和正多边形等来拼接的。如：家

庭装修铺地板时，选择一种特殊的多边形（三角形、四边形或正多边形）地砖，其中任意两块

图形不能重叠，也不能留有空隙；而且，多边形的顶点只能与顶点重合。

师：下面请同学门试一试：选用一种大小相同的特殊的多边形（三角形、四边形或正多边形）来拼

接，看看拼接出的图案效果如何？

（多媒体播放拼接要求，学生按拼接要求粘贴、拼接。各组选择的形状、拼装方式可以不一样。

在教师的指导下，四人一组分工合作，先讨论、确定多边形的形状，要求学生在拼接的过程中

想一想根据什么来确定多边形的形状？）

„ „

【点评：学生通过动手操作，在活动的过程中去感受数学知识与实际生活的联系，在直观体验

中认识多边形的特征。这个过程借助动手操作，将难点分解，从活动过程中掌握数学知识，突

出重点。】

师：下面请各组同学选一个代表，展示各组设计的图案。

（分组展示作品，介绍设计过程，并作设计说明：各组的代表纷纷上台展示各自的作品并对作

品进行说明，教室里时时响起掌声，很多同学跃跃欲试，纷纷向老师和其他同学推展自己的作

品。）

师：同学们的设计很有创意，色彩的搭配也挺漂亮。现在我们不考虑这些图案的颜色，哪些是符合

拼接要求。

（同学们异口同声的说：“都符合。”）

师：同学们用三角形、四边形和正六边形拼接的的图案都是密铺图案。其他的图形可以吗？比如只

用正五边形可以进行密铺吗？

生：不能。

师：请同学们想一想：为什么有的图形符合密铺要求，而有的却不符合？

„ „

师：请同学们观察一下，在用三角形密铺的图案中，观察每个拼

接点处有几个角，它们与这个三角形的内角有什么关系？

生：在三角形拼接的图案中，每一个顶点处有6个角，分别等于

两个全等三角形的各内角。

生（补充）：它们的和为360°，是三角形的内角和180°的2倍。

师：在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角，它们与这种四边形的内角又有什么关

系？

生：在四边形拼接的图案中，每一个顶点处应有4个角，分别等于一

个四边形的4个内角，它们的和等于四边形的内角和是360°。

师：请同学们讨论、思考一下：符合拼装要求的多边形应该具备什么

样的条件？

„ „

（同学们对着图案思考了片刻）

„ „

【点评：这个问题旨在培养学生观察、分析、归纳能力。】

生：只用一种多边形进行密铺，就必须使拼凑在每一顶点处各角之和为360°。

师：同学们得到了规律，将刚才的拼接结果，用这个规律去验证一下，看看对不对？看一看，有哪

些多边形符合这个要求？

生：正六边形可以密铺。因为正六边形的每一个内角是120，在每一个顶点处有3个正六边形就可

0

以。（学生出示图片如下左）

师：正五边形可以密铺吗？

生：不能。因为正五边形的每一个内角是108，不存在正整数，使成立，所以只

0

n

n108360

4

用正五边形不能进行密铺。

生：只用一种图形，三角形、四边形和正六边形可以密铺，其他的多边形不能密铺。

【点评：学生通过实验探索，分析、归纳得出规律，明白这个规律是怎么得来的，并且也知道

了为什么有些图形却又不符合，将认识由感性上升到理性。学生由实际操作中发现并总结了规律，

形成了一定的理论知识，反过来又将这理论知识指导实践，找出符合拼接要求的所有的特殊多边形，

并尽可能地将可以密铺的多边形都找出来。】

3．思考与拓展----用两种或两种以上的平面图形密铺

师：归纳的很好。其实，在生活中许多密铺图案是由两种或两种以上形状的图形组成的。请同学们

利用课余时间想一想：任意选择两种正多边形进行密铺（最好用生活中常见的形状的多边形），

使拼出的图案既符合要求又比较美观，你能想出几种？老师这有一些有关“平面图形的密铺”

知识的网站或网页，供同学们参考。

（多媒体播放下列网址：

/SoHo/Museum/3828/

/FunMaths/

/gallery）

【点评：借助于现代信息技术，特别是利用互联网，是进行学习的一种重要途径和手段。目的

是为一些有兴趣和学有余力的同学给予引导和提供参考，既体现了教学的开放性和现代信息技术对

数学学习的作用，又体现了“不同的人在数学得到不同的发展”的新教育理念】

4．课堂小节

师：想一想，学习了这节课后，你了解了哪些知识？明白了哪些道理？有什么感受和收获？

生：知道了什么是密铺，哪些多边形可以密铺。

生：多边形密铺的条件。

生：生活中处处都有数学，我们要多观察、多思考，用我们学到的知识去解释、应用。

生：先从几个特殊、具体的事物中寻找、归纳规律，然后再去验证这个规律是否正确。

„ „

„ „

5．课外作业：

师：大家说的都不错。下面给同学们留两道课外作业：

（1）请同学们利用课余时间收集一些用平面图形密铺的图片。

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（2）用两种正多边形按这个要求进行拼装，请设计出你的方案，并涂上你满意的颜色。

六、教学反思

本节课的教学设计经过实际的教学检验，成功之处有：创设问题情景好，时装“秀”和绚丽的

图案吸引了学生，激起了他们的求知欲望；活动充分，小组合作学习让学生经历探索多边形密铺（镶

嵌）的条件的过程，效果较好；教师教学民主，使学生敢于表现自己，激发了学生的想象力和创造

力；在教学中运用教学媒体的效果好。

教学的不足之处：学生设计的图案很多超出了教师的考虑范围，学生很多新颖的设计因时间所

限无法在课内一一展示；只用正五边形不能密铺应让学生动手试验一下。

教师的体会：新教材对内容的选取更加以人为本，更贴近学生的生活现实，给学生和教师更大

的活动空间，增进了学生对数学的理解和应用，激发了学生的想象力和创造力。本节课的教学中，

通过对“拼地板”的探索，让学生经历了探索多边形密铺（镶嵌）的条件的过程，强化了学生对多

边形内角和其及有关几何事实的认识；渗透了初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过

程中，通过观察、判断、归纳、总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，进一

步发展了学生的合情推理能力；培养了学生实践意识、创新精神和团结协作的精神，让学生在活动

中感受到数学的朴实之美，数学的和谐之美，实现了课前的教学目标。在教学中，学生的设计和探

究超出了我们的预料，带给我们惊喜，让我们感叹学生的想象力和创造力，这也许是新课程带给我

们的收获。

七、学生反馈

学生1：

这节课通过自己动手实验的方法，使得课堂既轻松探索得出结论，又让我们对本课的

内容影响非常深刻。

学生2：

我认为这节课非常轻松，在实践的过程中学到了知识，了解了探索问题的方法，而且

我认为在这节课中发挥了我们的潜力，培养了我们的动手能力和表达能力，如：对设计的图案进行

说明。

联系，在直观体验中认识多边形的特征，从而使学生经历了探索多边形密铺的条件的过程，强化了

学生对多边形内角和其及有关几何事实的认识，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺；

本节课还渗透了初步的数学“建模”思想，引导学生在拼接实验的过程中，通过观察、判断、归纳、

总结并发现规律，并能用所发现的规律去解决一些实际问题，通过本节课进一步发展了学生的合情

推理能力，开发、培养学生实践意识、创新精神和团结协作的精神；使学生体会了平面图形在现实

生活中的广泛应用。本节课学生的多次合作活动，不仅推动了学生间的相互交流，而且激发出智慧

的火花。在课堂的拓展和课外作业的布置上，借助于现代信息技术，特别是利用互联网，为一些有

兴趣和学有余力的同学给予引导和提供参考，既体现了教学的开放性和现代信息技术对数学学习的

作用，又体现了“不同的人在数学得到不同的发展”的新教育理念。

林有智（武汉市特级教师）：

这节课成功之处在于在几个重要问题上进行了有益的探索：（1）

数学来源于实践又服务于实践。这个问题，历来是唯物主义和唯心主义的分水岭。这节课从实际问

题得出结论，有用这个结论解决了实际中相应的问题，因此，这节课对“数学来源于实践又服务于

实践”做了有益的探索。（2）我们课堂教学的说到底是课堂的教学如何与认知规律相融合。这节课

上，教师采取一系列手段，如：由实际引入课题，由感性到理性，由特殊到一般，通过不断的研究

和探索过程，达到了数学“建摸”的目的，这样就把学生认识客观世界、探索规律和他们的实际活

动与认知规律很好地结合起来了，对课堂的教学如何与认知规律相融合进行了有益的探索。（3）课

堂教学教与学的双边活动的根本在于教与学的双边思维活动有机的结合。这节课上，教师通过让学

生动手实验，从实验中发现规律，然后展示实验成果，让学生获得充分的成就感，这样学生的思维

活动就在他们的动手活动中得到很好的体现，在此基础上，教师又一次提出一个高于学生思维水平

似的问题，又一次在实验探索中引导学生的思维进行了升华，达到了教与学的双边思维活动有机的

结合。另外，这节课在课堂教学中“如何提问”还有待商榷的地方，有些问题的提出时机，有些问

题的跨度不大合适。

王霞（武汉市教科院数学教研员）：

先进的教育思想是课堂教学的灵魂

刚才听了刘军老师的一节课，整体上看，这节课是比较成功的。我想就感受最深的几点谈谈

自己的看法——先进的教育思想是课堂教学的灵魂。

这节课是北师大版八年级上册第三章四边形性质探索的第8节。刘老师通过创设情境引入密

铺的概念，然后通过组织学生动手操作、小组合作讨论等活动探索多边形密铺的条件，发展学生的

处理得当。

这节课不是以传授知识为中心，而是以学生的发展为中心。教学过程既是学生掌握知识的过

程，又是一个身心发展、潜能开发的过程。教学中着眼于学生开发自己的身心潜能，在学生掌握知

识的同时形成现代人的思想，掌握现代人的本领，使学生的知识、人格、智力、能力、非智力、个

性等都得到和谐全面的发展。

二、主体意识——传统的以教师“讲”为中心的教学，使学生处于被动状态，不利于学生的

潜能开发和身心发展。用现代教育思想来看，不仅要看教，而且要看学，而且要从学生如何学上看

教师怎样教。刘老师给学生创造的机会，让他们主动参与教学过程，通过学生的不断探索形成知识

体系，从而培养学生表述、分析、归纳、总结等能力。整节课我们看到的是师生互动，学生的思维

和方法得到了充分的展示；这种指导性教学模式调动了每一位学生的学习主动性，使学生在自主学

习中发展，在发展中成长，亲身经历了探索多边形密铺的条件的过程以及多边形密铺的条件，感受

到了学习数学的快乐，品尝到了成功的喜悦。

三、情感意识——教学过程中最活跃的是师生之间的关系。师生在教学中情感交融、气氛和

谐，教师充分调动学生的潜能，激发他们在最佳的心理状态下参与学习的全过程的积极性，指导他