材料力学基本公式

材料力学重点及其公式

材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（

4）小变形假设。

外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外

力作用而引起的附加相互作用力

截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去

任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对

保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力： 正应力σ、切应力τ。 变形与应变：线应变、切应变。

p

lim

A0

FdF

AdA

杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。

动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。



s



b

失效原因：脆性材料在其强度极限破坏，塑性材料在其屈服极限时失效。二者统









s

n

s

，称为极限应力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：



F

N

F

max



max















A

max

，强度条件：，等截面杆

A

轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：，沿轴线方向的应变

lll

1









b

n

b

和横截面上的应力分别为：，。横向应变为：，横向应变与轴





l

F





N

A

l



'



b

bb

1

bb

'



向应变的关系为：，为横向变形系数或泊松比。





胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 ，这就是



P



E

胡克定律。E）。将应力与应变的表达式带入得：为弹性模量（=

l

Fl

EA

39

10MPa10pa

1GPa

EA为抗拉或抗压刚度。

静不定(超静定)：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平

衡方程无法解出全部未知力。需要由几何关系构造变形协调方程。

扭转变形时的应力，薄壁圆筒扭转 其中





2R



0

2

M

e

M(N•m)9549

e

p(kw)

RrDd

R

r

0

n()

24

min

为圆筒的平均半径。剪切胡克定律：当剪切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力



与切应变成正比。.





G







d



dx

变形几何关系—圆轴扭转的平面假设。物理关系——剪切胡克定律

d



ddd



22





GG

TdAGGdAGI







P

AAA

dx

。力学关系 圆轴扭转时的应力

dxdxdx

：, = 称为抗弯截面系数;强度条件： ，可以进行强度



max



TRT

IW

pt

W

t

I

p

R



max

[]

T

W

t

校核、截面设计和确定许可载荷。

IW

Pt



D

4

3216

圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 ；

I1W1

Pt



D

3





d

D

) （b）空心圆,;(D,d分别是外，内径；



(Dd)DD

4443

323216





44





圆轴扭转时的变形：；等直杆：其中

刚度条件： ，



dxdx



TT

ll

GIGI

pp





Tl

GI

p

GI为圆轴的抗弯刚度

P

dT









dxGI

p

TT180

maxmax



''



[]，[]



max

max

GIGI

pP



静定梁的基本形式（1）简支梁；（2）外伸梁；（3）；悬臂梁

弯曲内力与分布载荷q之间的微分关系；；

dMxdFx

2



S

dMx



dF(x)

S

qx



q(x)

Fx

S



2

dx

dx

dx

dx

弯曲变形的两个假设（1）弯曲变形的平面假设，（2）纵向线段间无正应力。

弯曲变形的关系：（1）纵向线应，（2），（3），

（4） ，梁凸的一侧受拉应力，凹的一侧是压应力。





My

I

z



EE

yy





1M







EI

z

EI为抗弯刚度

Z



max



MyM

maxmaxmax



IW

z

正应力强度条件，其中W为抗弯截面系数。

W

I

z

y

max

弯曲切应力的假设（1）切应力方向都平行剪力Fs；（2）切应力沿截面宽度均匀分布

FS

sz







Syd

Z1A





Ib

z

，其中，是横截面的部分面积对中性轴的静矩

A

1

A

1

提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩，合理放置支座，合理布置载荷

M

max

，合理设计截面形状

塑性材料：，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：， 采用





tc







tc



T字型或上下不对称的工字型截面。{[]抗拉许用应力；[]抗压许用应力 }



tt

弯曲变形：挠度和转角





为刚度条件判断依据即：



maxmax

,



ddM

2





dxEI

（一）积分法求弯曲变形近似微分方程

dx

2

转角方程为：;



dxC

dwM



dxEI

M

dx)dxCXD(

EI

.其中，C，D挠曲线方程为：为常数，等截面梁的EI为常数，积分





时可提到积分号外边简化运算。

应力和应变分析，强度理论.





cos

2







sin2

2

应力状态：（1）轴向拉伸时斜截面既有正应力也有切应力，

（2）受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公:,



"



PD

2





'



PD

4



二向应力状态分析—解析法

（1）斜截面上的应力；





cos2sin2



xyxy



22

xy





sin2cos2



xy



2

xy

（2）极值应力 正应力：，

切应力：，

平面应变；





cos2sin2



xyxyxy



222

tan2



0

2



xy



xy





xyxy



22



max



()



xy





min



22



xy



tan2



1

2



xy



xy



22



max



()



xy





min



2



xyxy

222

cos2sin2







()

主应变的方向；



xy

tan2



0



xy





xyxyxy



22



max



()()



222



min



应变的实测:

使用应变仪可以着检测出但是切应变不易测出





1;





2





3





111

cos2sin2





222

cos2sin2





3

cos2sin2



xy



xyxyxy



222



xyxyxy



222

33



xyxyxy



222

以上三个方程联立解出





1;





2





3

广义胡克定理，对于各向同性的材料当变形很小且在线弹性范围内时，线应变只与正应

力有关，切应变只与切应力有关，所以广义胡克定理为

E



y

[()]

1



yxz

E



z[()]

1



ZXy

E



x

[()]

1



xyz

当六个面都为主应力面时：

1

[1()]



23

E



2

[()]

1



231

E



3312

[()]

1



E

1





xyyzzx





xyyz

GGg



zx



xyyzzx

000

VV

单位体积的体积该变量



1

123

V

123(12)





123



m



()•

123

EE3K

E

K,为体积弹性模量,为三个主应力的平均值



m

3(12)



复杂应力状态下的应变能：三应力状态下的应变能密度为





[2()]

112233123122331

1111

222

2222E

应变能密度密度是由两部分组成：（1）因体积变化而储存的应变能，叫体积改变能密度。





v

（2）体积不变但有正方体变为长方体而储存的的应变能密度,叫畸变能密度。由此



dvd



3(12)3(12)12



22



vmmvm123

；,所以()

mm

2E2E6E

1



222

由此知道（-）（-）（-）



d122331

6E



四种强度理论，强度失效的主要形式有两种，即屈服与断裂，相应的强度理论也有两类

：一类解释断裂失效的，即最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；另一类是解释屈服

失效的，即最大切应力理论和畸变能密度理论。

(1)断裂准则：;所以强度条件。即相当应力



1b1r11





1

（2）断裂准则：;(),所以断裂准则：()



11123123b

b



EE

所以强度条件为：()。即相当应力()



123r2123





-

（3）已知单向拉伸时，。所以屈服准则为或-。



maxmax13s

s13s

222

所以强度条件为：-；即相当应力-。



13r313



11



22

（4）已知对单向拉伸时，屈服应力，相应的畸变能密度为(2)。屈服准则：(2)



ssds

6E6E

1



222

在任意状态下，由（-）（-）（-），整理屈服准则得：



d122331

6E

11

222222

（[-）（-）（-）]，所以强度条件为：（[-）（-）（-）]。



122331s122331



22



相当应力（[-）（-）（-）]



r4122331

1

222

2

组合变形的叠加原理的条件：（1）服从胡克定理即线弹性形变（2）构件小变形

组合变形中重要内容为扭转和弯曲的组合变形，机械工程中轴类零件一边都是受弯扭变

形的作用。一边先画出轴的受力模型图，在作出轴的弯矩图和扭矩图，以此定出轴的危

险截面和危险点。一般单元体都应力状态都为下图的应力状态。



max





2222

1

()4





2222



min



两个主应力一正一负，故三个主应力为



123

为正值。0。为负值。



4

22





r4

3

22



r3

第三或第四强度理论的强度条件为；



r3

[]

T





W

t

MT

22

W

M0.75T

22

W

[]



当为圆轴时: ; ; 且.所以化简得





M

W

WW

t

r4

压杆的稳定：临界压力：使压杆保持微小变形的的最小压力。(压杆又向任何方向失

F

cr

稳的可能，具体问题具体分析)

dF

2



推导临界压力即欧拉公式的几个方程：（1）;(2);(3) .

MF



dx

2



EI

k

2

F

EI



2

EI

F

cr

2

(l)



等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力的欧拉公式

压杆的约束条件：（a）两端铰支 μ=l

（b）一端固定、一端自由 μ=2

（c）一端固定、一端铰支 μ=0.7

（d）两端固定 μ=0.5



i



lD

i4

i

I

A

，对于圆截面时， 压杆的长细比或柔度计算公式， ，

细长压杆临界应力的欧拉公式

欧拉公式适用范围



cr



2

E





2

（1）大柔度压杆（欧拉公式）：即当，其中 时，





1



2

E



1





P



2

E



cr



2



a



s

b

（2）中等柔度压杆（经验公式）：即当，其中时，



21





2





cr

ab

（3）小柔度压杆（强度计算公式）：即当时，。





2

(4)对于脆性材料经验公式中改为



sb



crs



F

A

压杆的稳定校核（1）压杆的许用压力：，为许可压力，为稳定安全系数。



F

F

cr

n

st



P

n

st

F

nn

cr

st

F

（2）压杆的稳定条件：,即，n为工作安全因数。

FF



能量的方法:在线弹性情况下。

FlFl

22



V







22EA2E2

。单元体应变能密度（1）轴向拉伸或压缩，应变能

(2)纯剪切：单元体的应变能密度，

Ml





e

GI

P









2

2G2

（3）扭转：, 应变能，Me为加载在轴端的外加扭转力偶矩。

2

MMl

ee



V



22GI

P

当扭矩T沿轴线为变量时：可以积分求得应变能：

T

2

Vdx





l

GI

P

2

MMl

ee



V



22EI

（4）弯曲，对于纯弯曲应变能,

M(x)

2

Vdx





l

2EI

对于横力弯曲积分求出全梁的应变能：