上海昂立智立方数学高中 高一(秋季班) 高一新课-11-不等式章节小结-学

专业 引领 共成长

高一数学新课

教师 日期

学生

课程编号 课型 复习课

课题

不等式章节小结

教学目标

1、不等式的性质

2、不等式的证明

3、不等式的解法

4、不等式的应用

教学重点

1、注重不等式的解法，解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的

理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起

来，互相转化．

2、不等式的应用，不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立

不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．

教学安排

1

2

3

4

版块 时长

例题解析 80

巩固训练 30

师生总结 10

课后练习 30

高一数学新课

不等式章节小结

1 / 22

专业 引领 共成长

基本不等式

知识梳理

不

等

式

的

性

质

不

等

式

基

本

不

等

式

不

等

式

的

证

明

比较法

综合法

分析法

放缩法

反证法

换元法

函数法

有理不等式 整式高次不等式(组)

不

等

式

的

解

法

无理不等式

超越不等式

绝对值不等式

一元一次不等式(组)

一元二次不等式(组)

分式高次不等式(组)

指数不等式(组)

对数不等式(组)

三角不等式(组)

不

等

式

的

应

用

函数的定义域、

值域与单调性、

取值范围问题、

最值问题、方程

根的分布、数列

不等式、函数不

等式的证明、实

际应用问题

一、不等式的性质

（一）、知识精讲

1．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔________；

(2)传递性：a>b，b>c⇒________；

高一数学新课

不等式章节小结

2 / 22

线

性

规

划

例题解析

专业 引领 共成长

(3)加法性质：a>b⇔________；推论：a>b，c>d⇒________；

(4)乘法性质：a>b，c>0⇒________；推论：a>b>0，c>d>0⇒________；

(5)乘方性质：a>b>0⇒________________________；

(6)开方性质：a>b>0⇒________________________；

(7)倒数性质：a>b，ab>0⇒________________.

2．两个实数大小的比较

(1)作差法：设a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，这是比较两个实数大小和运用比较法

的依据．

a

(2)作商法：依据：设a>0，b>0，则a>b⇔__________，a<b⇔<1.

b

(3)函数法：构造函数，根据函数的单调性作出判断．

(4)特殊值法：若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法

探路．

3．不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质

1111

①a>b，ab>0⇒<. ②a<0<b⇒<.

abab

ab111

③a>b>0,0<c<d⇒>. ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.

cdbxa

(2)有关分数的性质

bbaa

b＋mb－ma＋ma－m

若a>b>0，m>0，则①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．

aabb

a＋ma－mb＋mb－m

（二）典型例题

1

【例1】(教材改编)若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a＋b从小到大排列为________．

22

2

1

【例2】已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．

1－a

【例3】下面的推理过程⇒ac>bd⇒>，其中错误之处的个数是( )

ab

【例4】若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－

dc

c)中成立的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

高一数学新课

不等式章节小结

3 / 22

a>b⇒ac>bc







dc

c>d⇒bc>bd





ab

A．0 B．1 C．2 D．3

专业 引领 共成长

【例5】已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．

6

设x，y为实数，满足3≤xy≤8,4≤≤9，则的最大值是________．

2

xx

23

yy

4

【巩固训练】

1． 若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 ( )

A．a＋>b＋ B.>

11b

baa

b＋1

a＋1

C．a－>b－ D.>

11a

bab

2a＋b

a＋2b

高一数学新课

不等式章节小结

例

4 / 22

专业 引领 共成长

2． 设a>b>c>0，x＝a＋b＋c，y＝b＋c＋a，z＝c＋a＋b，则x，y，z的大小关系是

222222

_________．

3． 已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )

A．若a>b，则ac>bcB．若>，则a>b

22

1111

C．若a>b且ab<0，则> D．若a>b且ab>0，则<

3322

abab

4． 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题

cdcd

①若ab>0，bc－ad>0，则－>0； ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；

abab

cd

③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.

ab

其中正确的命题是________．

5． 比较ab与ab(a，b为不相等的正数)的大小．

abba

6． (1)设x<y<0，试比较(x＋y)(x－y)与(x－y)·(x＋y)的大小；

2222

11xy

(2)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且>，x>y，求证：>.

ab

x＋ay＋b

7． 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享

受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车

型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．

高一数学新课

不等式章节小结

5 / 22

ab

cc

专业 引领 共成长

二、

不等式的证明

（一）、知识精讲

▲知识点1 利用比较法证明不等式

1.定义：对于任意两个实数，有

a,b

abab0;abab0;

ab

ab0ab0

。因此要证明，只要证明；同样，要证明，只要证明

abab

ab0

，这种证明不等式的方法叫做比较法。

2.比较法证明不等式又分为以下两种方法：

（1）做差比较

（2）作商比较

3.用比较法证明不等式的步骤：

先对要证明的不等式的两边做差（或商），然后通过因式分解或配方法对差（或商）进行变形，

从而确定差是正还是负，从而证明不等式成立。

▲知识点2 用分析法证明不等式

从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判

定这些条件是否成立的问题。如果能够判定这些条件都成立，那么就可以判定原结论成立，这种证

明方法叫分析法，一般来说，分析法的证明过程就是寻找欲证不等式成立的充分条件的过程，所以

要特别注意表述的逻辑性。

▲知识点3 用综合法证明不等式

把某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种方法通

常叫做综合法。

用综合法证明不等式，就是用因果关系书写“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经

过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程，其特点可描述为“由因导果”，即从“已

知”看“可知”，逐步推向“未知”。综合法属于逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依

据。

【注意】利用公式法、综合法证明不等式时，其一要牢记公式，并熟悉它们的变形；其二使用

时要注意公式成立的条件。

▲知识点4 用反证法、放缩法、变量代换法、构造法证明不等式（拓展内容）

1.放缩法

高一数学新课

不等式章节小结

6 / 22

专业 引领 共成长

若证是 “”,我们先证明“”,然后在证明“”，则“”。

ABAB

ACCB

2.反证法

反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法。

3.变量代换法

变量代换是数学中的一种常用的解题方法，对于一些结构比较复杂，变化较多而关系不太清楚

的不等式，可适当的引进一些新的的变量进行代换，以简化其结构，其代换技巧有局部代换、整体

代换、三角代换、增量代换等。

4.构造法

不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数、图形及变量等辅助

手段，促使命题转化，从而使不等式得证，此法技巧要求较高，高考题中很少见。

（二）典型例题

【例7】求证

3725

【例8】已知为互不相等的正数，且，求证：．

a、b、c

abc1

111

9

abc

【例9】已知，且，求证：．

a0,b0

ab1

2a12b122

高一数学新课

不等式章节小结

7 / 22

专业 引领 共成长

【例10】 求证：（1）.

xx2x1



2

（2）设，求证：

ab0

abab.

abba

3

【例11】已知，（1）求证：；

a0,b0

abab

33



22







11

22

22

（2）求证： 。





ab



ba

ab

11

22

高一数学新课

不等式章节小结

8 / 22

专业 引领 共成长

【例12】（同济）求证：对于任何实数，三个数中至少有一个不小于。

a,b

|ab|,|ab|,|1a|

【例13】设、，求证：，并指出等号成立的条件.

a

bR

ababab

【巩固训练】

1

2

1. 已知，，，求证：不可能都大于1.

0a20b20c2

a2b,b2c,c2a



2. 实数满足,求证：.

x,y,z

xyyzzx1

x5y8z4

高一数学新课

不等式章节小结

9 / 22

222

专业 引领 共成长

3. 设是正数，且，求证：。

x,y

xy1

(x)(y)

22

22

xx

n1n

xx

12

4. 已知，用综合法证明：.

x0,i1,2,L,n

i

LxxLx

12n

xxxx

23n1

1125

xy4

三、不等式的解法

（一）、知识精讲

1. 一元二次不等式的解法

(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax＋bx＋c>0(a>0)或

2

ax＋bx＋c<0(a>0)的形式；

2

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．

2．分式不等式的解法

解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，

再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．即：

f（x）

(1)＞0(<0)⇔f(x)·g(x)＞0(<0)；

g（x）



g（x）≥0（≤0），f（x）·



f（x）



(2)

≥0(≤0)⇔

g（x）



g（x）≠0.



高一数学新课

不等式章节小结

10 / 22

专业 引领 共成长

3．绝对值不等式的解法

（二）典型例题

【例13】如果不等式5－x＞7|x＋1|和不等式ax＋bx－2＞0有相同的解集，则( )

2

A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－1，b＝9

C．a＝－4，b＝－9 D．a＝－1，b＝2

【例14】不等式的解集为 .

2x1x20

引申探究

（2011“北约”）求的最小值。

f(x)|x1||2x1|L|2011x1|

【例15】已知关于x的不等式的解集为M，若且，求实数a的取值范围.

ax5

0

3M5M

2

xa

高一数学新课

不等式章节小结

11 / 22

专业 引领 共成长

【例16】解关于x的不等式：x－(a＋1)x＋a<0.

2

引申探究

将原不等式改为ax－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．

2

11

－，－



，则不等式x－bx－a<0的解集是( ) 【例17】已知不等式ax－bx－1≥0的解集是

22

32



A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)

1111



C. ∪ D.



3232

，－∞，，＋∞

1



2

x2ax5





3

【例18】（1）已知不等式组



有唯一解，则实数_______。

a

7



x2ax5

2



2

3

（2）已知不等式

ax3x4b

2

的解集为，则的值为 .

[a,b]

ab

4

高一数学新课

不等式章节小结

12 / 22

专业 引领 共成长

【例19】,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（ ）

0b1a

(xb)

(ax)

22

（A） （B） （C） （D）

1a00a11a33a6

【例20】不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）

x3x1a3a

2

xa

A． B．

(,1]U[4,)(,2]U[5,)

C． D．

[1,2]

(,1]U[2,)

【例21】(1)关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

4x＋m

x－2x＋3

2

(2)若不等式x＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．

2

【例22】(1)若一元二次不等式2kx＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )

2

3

8

A．(－3,0] B．[－3,0)

C．[－3,0] D．(－3,0)

(2)设a为常数，任意x∈R，ax＋ax＋1>0，则a的取值范围是( )

2

高一数学新课

不等式章节小结

13 / 22

专业 引领 共成长

A．(0,4) B．[0,4)

C．(0，＋∞) D．(－∞，4)

【例23】设函数y＝mx－mx－1.若对于x∈[1,3]，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

2

【例24】对任意的k∈[－1,1]，函数y＝x＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是______．

2

【巩固训练】

x－a

1． 解关于x的不等式<0 (a∈R)．

x－a

2

2． 若不等式x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

22

A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)

高一数学新课

不等式章节小结

14 / 22

专业 引领 共成长

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]

3． 已知函数f(x)＝x＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围

2

是________．

4． 在关于x的不等式x－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是( )

2

A．(3，4) B．(－2，－1)∪(3，4)

C．(3，4] D．[－2，－1)∪(3，4]

x－3

5． 已知a∈R，不等式

≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )

x＋a

A．(－3，＋∞) B．(－3，2)

C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)

6． 若关于x的不等式x－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )

2

A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)

C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)

7． 若关于x的不等式的解集为，关于x的不等式

kxb

0

(2,1)(2,3)

xaxc

kxbx1

0

的解集为

________．

ax1cx1

高一数学新课

不等式章节小结

15 / 22

专业 引领 共成长

kxxk

2

0

对任意实数x都成立，则k的取值范围是________． 8． 不等式

2

xx1

9． 若不等式在实数R中恒成立，则实数a的取值范围是________．

xax1

1

2

四、基本不等式

（一）、知识精讲

(1) 利用平均值定理求某些函数或对象的最大或最小值问题.

①强化变换的目的性

②突出步骤的合理性的认识

(2) 突出函数,方程与不等式之间的关系,并利用三者的联系解决某些变量取值范围的问题.

① 变量与常量的处理问题即恒成立问题

②突出函数思想的理解与应用,以不等式为工具,充分展示对函数的理解,对函数相关知识的综

合应用.

（二）典型例题

【例25】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，

8

售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

5

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．

【例26】(1)已知，求函数的最大值。

x

高一数学新课

1

5

y4x2

4

4x5

不等式章节小结

16 / 22

专业 引领 共成长

x7x10

2

(x1)y

的值域。 求

(2)

x1

【例27】已知a、b、c，且。求证：

R

abc1



【例28】已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

x0,y0





111

1118

abc



19

1

xym

m

xy

高一数学新课

不等式章节小结

17 / 22

专业 引领 共成长

引申探究

已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.

【巩固训练】

ab



xy

1． 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000

辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比

例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利

润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

2． 已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为( )

(xy)()9

1a

xy

x、y

a

高一数学新课

不等式章节小结

18 / 22

专业 引领 共成长

A.2 B.4 C.6 D.8

abc1

222

abc



当且仅当时取3． 设都是正数，证明不等式

abca，b，c

bcacab2

等号。

反思总结

1． 解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次

不等式（组）来求解。

2． 解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。

3． 不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，

选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4． 根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

课后练习

1． 集合，集合，若，则的取值范围

A{x|2x5}

B{x|m1x2m1}

BA

m

为 ．

2．“”是“”的 条件．

|x||y|

xy

高一数学新课

不等式章节小结

19 / 22

专业 引领 共成长

3．已知不等式的解集是，则不等式的解

ax5xb0bx5xa0

22

{x|3x2}

是 ．

4．不等式的解集是 ．

(1x)(1|x|)0

5．已知，则的范围是 ．

1ab2

2ab

6．对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．

m[,3]

tmt2m4

2

t

7．(教材改编)若关于x的不等式m(x－1)>x－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．

2

8． 不等式有且仅有一解，则实数m的值是________．

2xmx106

2

9． 已知不等式对一切实数x恒成立，则关于x的方程

ax4ax3a60

2

1

2

x

|a4|2

的

a1

根的取值范围是________．

10．(2015·河南郑州一模，13)研究问题：“已知关于x的不等式ax－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解

2

11



2

1

22

关于x的不等式cx－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则



xx

x

11



k

，1，1

，所以不等式cx－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式y∈＋

2



22

x＋a

x＋bbx－1

kx

＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．

x＋cax－1cx－1

11

11． 设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“a＋＞b＋

”的( )

ab

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

12． 已知a，b，c∈R，给出下列命题：

ab

①若a＞b，则ac＞bc；②若ab≠0，则＋≥2；③若a＞|b|，则a＞b.

2222

ba

高一数学新课

不等式章节小结

20 / 22

专业 引领 共成长

其中真命题的个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

13． 设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）

a,b,c

A. B.

|ab||ac||bc|

C. D.

aa|ab|2

2

14． 已知，用比较法证明：；

abc

abbccaabbcca

222222

15． 已知集合，；

A{x|x2x30,xR}B{x|axx30,xR}

（1）当时，求；

a2

AIB

（2）若，求实数的取值范围；

AIBB

a

2

16． 已知命题，方程没有正根，求实数的取值范



:|a1|2



:

x(a2)x10

(xR)

a

a3a1a2a

111

aaab

2

22

围，使命题有且只有一个为真命题；



,

高一数学新课

不等式章节小结

21 / 22

专业 引领 共成长

17． （1）已知，求的最大值；

x,yR



xy

xy



（2）求满足对有解的实数的最大值，并说明理由

2abk4ab

a,bR

k

18． 如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24 m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢

筋总长度最小？

2

高一数学新课

不等式章节小结

22 / 22